Cho các số a,b,c thỏa mãn a+b+c=3 và \(a^4+b^4+c^4=3abc\)Tính P=\(a^{2019}+b^{2019}+c^{2019}\)Cần gấp đây ạ :< thực ra tui lm 1 đoạn theo hướng chứng minh \(a^4+b^4+c^4\le a+b+c\)và từ đây suy ra a,b,c thuộc khoảng từ 0-1.Ko bt có đúng hướng ko và nếu đúng thì nên lm tiếp,trình bày vs lập luận như nào.Còn sai hướng thì nhờ mn đăng cách của mk ạ...
Đọc tiếp
Cho các số a,b,c thỏa mãn a+b+c=3 và \(a^4+b^4+c^4=3abc\)
Tính P=\(a^{2019}+b^{2019}+c^{2019}\)
Cần gấp đây ạ :< thực ra tui lm 1 đoạn theo hướng chứng minh \(a^4+b^4+c^4\le a+b+c\)
và từ đây suy ra a,b,c thuộc khoảng từ 0-1.Ko bt có đúng hướng ko và nếu đúng thì nên lm tiếp,trình bày vs lập luận như nào.Còn sai hướng thì nhờ mn đăng cách của mk ạ :33
À mà hình như sai cmn hướng thật r :< phiền các pro vậy ạ :<
Ta có: \(a^4+b^4+c^4\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{3}\ge\frac{\left(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\right)^2}{3}=3\)
=> \(3abc\ge3\)=> \(abc\ge1\) ( 1)
Lại có: \(a^4+b^4+c^4+1\ge4\sqrt[4]{a^4b^4c^4}=4\left|abc\right|=4abc\)
=> \(3abc+1\ge4abc\Rightarrow abc\le1\)(2)
Từ (1); (2) => abc = 1
khi đó a = b = c = 1
=> P = 1^2019 + 1 ^2019 + 1^2019 = 3