Question

[Mẫn Li]

1. Trong Oxy, cho (C): \(x^2+y^2-2x-4y+1=0\), M(3; 4). Viết phương trình đường tròn (\(C_2\)) có tâm M, cắt đường tròn (\(C_1\)) tại hai điểm A, B sao cho \(S_{\Delta IAB}\) lớn nhất.
2. Trong Oxy, cho (C): \(x^2+y^2-2x+4y=0\), d: \(x-y-1=0\). Tìm điểm M thuộc d sao cho qua M kẻ được hai đường thẳng tiếp xúc với đường tròn (C) lần lượt tại A, B và \(\Delta MAB\) là tam giác đều.
3. Trong Oxy, cho (C): \(x^2+y^2-2x-4y-5=0\) và điểm M(0; -1) \(\in\) (C), Tìm tọa độ các điểm B, C thuộc đường tròn (C) saao cho \(\Delta MBC\) đều.

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

Câu 1:

Đường tròn (C) tâm \(I\left(1;2\right)\) bán kính \(R=2\)

\(\overrightarrow{IM}=\left(2;2\right)=2\left(1;1\right)\)

Do AB luôn vuông góc AM nên đường thẳng AB nhận (1;1) là 1 vtpt

Phương trình AB có dạng: \(x+y+c=0\)

Theo công thức diện tích tam giác:

\(S_{IAB}=\frac{1}{2}IA.IB.sin\widehat{AIB}=\frac{1}{2}R^2sin\widehat{AIB}\le\frac{1}{2}R^2\)

\(\Rightarrow S_{max}=\frac{1}{2}R^2\) khi \(\widehat{AIB}=90^0\)

\(\Rightarrow d\left(I;AB\right)=\frac{R}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow\frac{\left|1+2+c\right|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\sqrt{2}\Leftrightarrow\left|c+3\right|=2\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}c=-1\\c=-5\end{matrix}\right.\)

Có 2 đường thẳng AB thỏa mãn: \(\left[{}\begin{matrix}x+y-1=0\\x+y-5=0\end{matrix}\right.\)

TH1: \(x+y-1=0\Rightarrow y=1-x\)

Thay vào pt đường tròn: \(x^2+\left(1-x\right)^2-2x-4\left(1-x\right)+1=0\)

Giải ra tọa độ A hoặc B (1 cái là đủ) rồi tính được AM

TH2: tương tự.

Bạn tự làm nốt phần còn lại nhé

Answer 2

[Mẫn Li]

Đây là đề bài 1 chính thức nha bạn!

Trong Oxy, cho (C₁): \(x^2+y^2-2x-4y+1=0\), M (3; 4)
a) Tìm tọa độ tâm I và tính bán kính R của (C₁).
b) Viết phương trình tiếp tuyến d₁ với đường tròn (C₁) tại giao điểm của\(\Delta_1:x-2y+5=0,\Delta_2:3x+y+1=0\)
c) Viết phương trình tiếp tuyến d₂ với đường tròn (C₁) biết d₂ song song với d: \(4x+3y+2020=0\)
d) Viết phương trình đường tròn (C₂) có tâm M, cắt đường tròn (C₁) tại hai điểm A, B sao cho \(S_{\Delta IAB}\)lớn nhất.