Question

[Phạm Hoàng Hoa Minh Đống Đa]

mọi người giải giúp mình ạ

Answer 1

[Lê Song Phương]

a) \(AB=AE+BE=6,4+3,6=10\left(cm\right)\)

\(\Delta ABC\)vuông tại A có đường cao AH nên \(\hept{\begin{cases}AH^2=AE.AB\\BH^2=BE.AB\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}AH=\sqrt{AE.AB}=\sqrt{6,4.10}=\sqrt{64}=8\left(cm\right)\\BH=\sqrt{BE.AB}=\sqrt{3,6.10}=\sqrt{36}=6\left(cm\right)\end{cases}}}\)

Vậy \(S_{ABH}=\frac{AH.BH}{2}=\frac{8.6}{2}=24\left(cm^2\right)\)

b) Ta có: \(AH^2=AE.AB\left(cmt\right)\)

Mà \(\Delta ACH\)vuông tại H có đường cao HF nên \(AH^2=AF.AC\left(htl\right)\)

Từ đó ta có: \(AE.AB=AF.AC\left(=AH^2\right)\Rightarrow\frac{AE}{AC}=\frac{AF}{AB}\)

Xét \(\Delta AEF\)và \(\Delta ACB\), ta có:

\(\frac{AE}{AC}=\frac{AF}{AB}\left(cmt\right);\widehat{BAC}chung\)

\(\Rightarrow\Delta AEF\)~ \(\Delta ACB\)(c.g.c)

c) \(\Delta ACH\)vuông tại H nên \(\sin C=\frac{AH}{AC}\Rightarrow\sin^2C=\frac{AH^2}{AC^2}=\frac{AF.AC}{AC^2}=\frac{AF}{AC}\)

Vậy đẳng thức được chứng minh.

d) Vì \(\Delta ABH\)và \(\Delta ACH\)là các tam giác vuông tại H

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\sin B=\frac{AH}{AB}\Rightarrow\sin^2B=\frac{AH^2}{AB^2}\\\sin C=\frac{AH}{AC}\Rightarrow\sin^2C=\frac{AH^2}{AC^2}\end{cases}}\)

 \(\sin^2B.\sin^2C=\frac{AH^2.AH^2}{AB^2.AC^2}=\frac{AE.AB.AF.AC}{AB^2.AC^2}=\frac{AE.AF}{AB.AC}=\frac{AE}{AC}.\frac{AF}{AB}\)

Vì \(\Delta AEF\)~\(\Delta ABC\)(cmt) \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{S_{AEF}}{S_{ABC}}=\left(\frac{AE}{AC}\right)^2\\\frac{AE}{AC}=\frac{AF}{AB}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\sin^2B.\sin^2C=\frac{AE}{AC}.\frac{AF}{AB}=\frac{AE}{AC}.\frac{AE}{AC}=\left(\frac{AE}{AC}\right)^2=\frac{S_{AEF}}{S_{ABC}}\)

Vậy đẳng thức được chứng minh.