Question

[Lê Đình Quân]

4).Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ()O . Đường tròn K tiếp xúc với ,CAAB lần
lượt tại ,EF và tiếp xúc trong với (O) tại S . SE,SF lần lượt cắt (O) tại ,MN khác S .
Đường tròn ngoại tiếp tam giác ,AEMAFN cắt nhau tại P khác A
a) Chứng minh tứ giác AMPN là hình bình hành
b) Gọi EN,FM lần lượt cắt (K) tại G,H khác E,F . Gọi GH cắt MN tại T . Chứng minh tam giác AST cân.

Answer 1

[Nguyễn Long Vũ]

Ta thấy APF = 180–-ANS = AMS =180 - APEsuy ra F, P, E thăng hàng.Ta có APM= AEM góc nội tiếp chắn cung AM, AEM = SEC (đối đinh)Vì AC là tiếp tuyến của đường tròn (K) nên SEC – EFS (Tính chất góc tạo bởi tia tiếp tuyếnvà một dây).Mà EFS= PAN do tứ giác ANFP nội tiếp.Vậy APM = PAN→ AN//PM.Chứng minh tương tự ta cũng có: AM//PN => ANPM là hình bình hành.+ Các tam giác SKF, SON cân có chung đinh S nên đồng dạng suy ra KF // ONtuơng tự KE // OM suy ra SF/SN = SK/SO = SE/SM suy ra MN//EFTừ đó HGE = HFE = HMN suy ra tứ giác MNGH nội tiếp.Giả sử TS căt (0) và (K) lần lượt tại S1,S2thì TS.TS1 =TM.TN =TH.TG=TS1,TS2suy ra TS1 =TS2 suy ra S1 = S2 =SVậy TS là tiếp tuyển của (O).Tứ giác ANPM là hình bình hành nên AP và MN cắt nhau tại trung điêm I mỗi đường.Ta có theo tính chất góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung:JAM = PES = FST = NAS. Ta lai có AMI = AMN =ASN.Vậy tam giác AIM = tam giác ANS suy ra AM.SN = Al.AS.Tuơng tự AN.SM = AI.SN = AM.SN.Từ đó theo tính chất tiếp tuyển do TS tiếp xúc với (0)suy ra TM/TN = SM2/SN2 = AM2/AN2Vậy TA tiếp xúc với (0). Suy ra TA = TS.
Từ đó suy ra tam giác AST cân 
mình kbt làm câu a ạ