Question

[Nguyễn Văn Quang]

1. Tìm để biểu thức sau là số nguyên tố : A = 3n³ – 5n² + 3n – 5 .

2. a) Tìm n ∈ N để giá trị của biểu thức A = n³ + 2n² – 3 là :

1 ) số nguyên tố ; 2) Bằng 2013

b) Tìm n ∈ N để giá trị của biểu thức B = n⁴ – n³ – 6n² + 7n – 21 là số nguyên tố

3. Cho A = x⁴ + 4 và B = x⁴ + x² + 1

a) Tìm GTLN của A - B

b) Phân tích A và B thành nhân tử

c) Tìm các số tự nhiên x để A và B cùng là số nguyên tố .

4. Tìm n ∈ N để : a) A = n.2ⁿ+1 ⋮ 3

b) B = 12n²-5n – 25 là số ngưên tố.

c) C = 8n²+10 n+ 3 là số nguyên tố

d) D = (n²+3n)/ 4 là số ngyên tố

5. Chứng minh ∀ số tự nhiên n khác không thì :

a) Số (6n + 1) và số (5n + 1) nguyên tố cùng nhau

b) Số (2n - 1) và số (2n + 1) nguyên tố cùng nhau

6. a) Tìm a N để (a + 1) ; (4a² + 8a + 5) và (6a² + 12a + 7) đồng thời là các số nguyên tố .

b) Chứng minh : nếu p là số nguyên tố khác 3 thì số A = 3n + 2014 + 2012p² là hợp số ,với n N

7. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên tố p đều tồn tại vô số số tự nhiên n sao cho2ⁿ - n ⋮ p

8. Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho p² + 14 là số nguyên tố.

9. Cho p ≥ 7 là số nguyên tố. CMR: 11...1( p-1 chữ số 1) ⋮ p.

10. Cho 4 số nguyên dương a , b , c , d thỏa mãn : a² + b² = c² + d²

Chứng minh a + b + c + d là hợp số

11. Tìm số tự nhiên n sao cho số p = n³ – n² – 7n + 10 là số nguyên tố.

Answer 1

[Akai Haruma]

Bài 1:

Ta có: $A=3n^3-5n^2+3n-5=n^2(3n-5)+(3n-5)=(3n-5)(n^2+1)$

Để $A$ là số nguyên tố thì 1 trong 2 thừa số $3n-5$ hoặc $n^2+1$ bằng $1$

Nếu $3n-5=1\Rightarrow n=2$. Thay vào $A=5\in\mathbb{P}$ (thỏa mãn)

Nếu $n^2+1=1\Rightarrow n=0\Rightarrow A=-5$ không phải số nguyên tố (loại)

Vậy $n=2$

Answer 2

[Akai Haruma]

Bài 2:

1.

$A=n^3+2n^2-3=(n^3-1)+2(n^2-1)=(n-1)(n^2+n+1)+2(n-1)(n+1)$

$=(n-1)(n^2+n+1+2n+2)=(n-1)(n^2+3n+3)$

Để $A$ là số nguyên tố thì 1 trong 2 số $n-1,n^2+3n+3$ phải bằng $1$

Dễ thấy với $n\in\mathbb{N}$ thì $n^2+3n+3>1$. Do đó $n-1=1\Rightarrow n=2$

Khi đó $A=13$ là snt (thỏa mãn)

2.

$A=n^3+2n^2-3=2013$

$\Leftrightarrow n^3+2n^2-2016=0$

$\Leftrightarrow n^2(n-12)+14n(n-12)+168(n-12)=0$

$\Leftrightarrow (n-12)(n^2+14n+168)=0$

Dễ thấy với $n\in\mathbb{N}$ thì $n^2+14n+168>0$

Do đó $n-12=0\Rightarrow n=12$