tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
B=\(\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{z+x}\)biết x,y,z>0 và x+y+z=4
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TN
19 tháng 5 2017
Dự đoán dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\) ta tính được \(A=\frac{1}{4}\)
Ta sẽ chứng minh nó là GTNN của A
Thật vậy áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:
\(A=Σ\frac{x^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{Σ\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}\)
Do đó ta cần phải chứng minh \(\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{Σ\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}\ge\frac{x+y+z}{4}\)
\(\Leftrightarrow4\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\ge\left(x+y+z\right)Σ\left(2x^3+x^2y+x^2z\right)\)
\(\LeftrightarrowΣ\left(2x^4-3x^3y-3x^3z+6x^2y^2-2x^2yz\right)\ge0\)
\(\LeftrightarrowΣ\left(2x^4-3x^3y-3x^3z+4x^2y^2\right)+Σ\left(2x^2y^2-2x^2yz\right)\ge0\)
\(\LeftrightarrowΣ\left(x^4-3x^3y+4x^2y^2-3xy^3+y^4\right)+Σ\left(x^2z^2-2z^2xy+y^2z^2\right)\ge0\)
\(\LeftrightarrowΣ\left(x-y\right)^2\left(x^2-xy+y^2\right)+Σz^2\left(x-y\right)^2\ge0\) (đúng)
Vậy \(x=y=z=\frac{1}{3}\) thì \(A_{Min}=\frac{1}{4}\)
14 tháng 3 2018
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM t có:
\(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y+z}{4}\ge4\sqrt{\frac{x^2}{x+y}.\frac{x+y}{4}}=x\)(1)
Tương tự t có: \(\frac{y^2}{z+x}+\frac{z+x}{4}\ge y\)(2)
\(\frac{x^2}{x+y}+\frac{x+y}{4}\ge z\)(3)
Từ (1); (2); (3) t có:
\(\left(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y+z}{4}\right)+\left(\frac{y^2}{z+x}+\frac{x+z}{4}\right)+\left(\frac{x^2}{x+y}+\frac{x+y}{4}\right)\ge x+y+z\)
Từ x + y + z \(\ge\) 4, t có:
\(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{x^2}{x+y}\ge\frac{x+y+z}{4}\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 1, đạt được khi \(x=y=z=\frac{2}{3}\)
14 tháng 3 2018
áp dụng bđt Bunyakovsky dạng phân thức ta có: P >=(x+y+z)^2/(x+y+z)=(x+y+z)/2=2
đẳng thức xảy ra <=> x=y=z=4/3
23 tháng 6 2019
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz , ta có : \(3.\left(x^4+y^4+z^4\right)\ge\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\), do đó : \(0\ge\left(x^2+y^2+z^2\right)^2-7\left(x^2+y^2+z^2\right)+12\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge3\), áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz , ta lại có :
\(P=\frac{x^2}{y+2z}+\frac{y^2}{z+2x}+\frac{z^2}{x+2y}\)
\(=\frac{x^4}{x^2y+2zx^2}+\frac{y^4}{y^2z+2xy^2}+\frac{z^4}{z^2x+2yz^2}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^2y+y^2z+z^2x+2\left(xy^2+yz^2+zx^2\right)}\)
Tiếp tục sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz và kết hợp BĐT quen thuộc \(ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\), ta có :
\(x^2y+y^2z+z^2x\le\sqrt{\left(x^2+y^2+z^2\right).\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)}\)
\(\le\sqrt{\left(x^2+y^2+z^2\right).\left(\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3}\right)}\)
\(=\left(x^2+y^2+z^2\right).\sqrt{\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)}{3}}\)
Tương tự , chứng minh đc :
\(2.\left(xy^2+yz^2+zx^2\right)\le2\left(x^2+y^2+z^2\right)\sqrt{\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)}{3}}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3.\left(x^2+y^2+z^2\right)\sqrt{\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)}{3}}}\)
\(=\sqrt{\frac{x^2+y^2+z^2}{3}}\)
\(\ge1\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1 nên giá trị nhỏ nhất của P là 1
PN
9 tháng 4 2016
Bài \(1a.\) Tìm \(x,y,z\) biết \(x^2+4y^2=2xy+1\) \(\left(1\right)\) và \(z^2=2xy-1\) \(\left(2\right)\)
Cộng \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\) vế theo vế, ta được:
\(x^2+4y^2+z^2=4xy\)
\(\Leftrightarrow\) \(x^2-4xy+4y^2+z^2=0\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(x-2y\right)^2+z^2=0\)
Do \(\left(x-2y\right)^2\ge0\) và \(z^2\ge0\) với mọi \(x,y,z\)
nên để thỏa mãn đẳng thức trên thì phải đồng thời xảy ra \(\left(x-2y\right)^2=0\) và \(z^2=0\)
\(\Leftrightarrow\) \(^{x-2y=0}_{z^2=0}\) \(\Leftrightarrow\) \(^{x=2y}_{z=0}\)
Từ \(\left(2\right)\), với chú ý rằng \(x=2y\) và \(z=0\), ta suy ra:
\(2xy-1=0\) \(\Leftrightarrow\) \(2.\left(2y\right).y-1=0\) \(\Leftrightarrow\) \(4y^2-1=0\) \(\Leftrightarrow\) \(y^2=\frac{1}{4}\) \(\Leftrightarrow\) \(y=\frac{1}{2}\) hoặc \(y=-\frac{1}{2}\)
\(\text{*)}\) Với \(y=\frac{1}{2}\) kết hợp với \(z=0\) \(\left(cmt\right)\) thì \(\left(2\right)\) \(\Rightarrow\) \(2.x.\frac{1}{2}-1=0\) \(\Leftrightarrow\) \(x=1\)
\(\text{*)}\) Tương tự với trường hợp \(y=-\frac{1}{2}\), ta cũng dễ dàng suy ra được \(x=-1\)
Vậy, các cặp số \(x,y,z\) cần tìm là \(\left(x;y;z\right)=\left\{\left(1;\frac{1}{2};0\right),\left(-1;-\frac{1}{2};0\right)\right\}\)
\(b.\) Vì \(x+y+z=1\) nên \(\left(x+y+z\right)^2=1\)
\(\Leftrightarrow\) \(x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+xz\right)=1\) \(\left(3\right)\)
Mặt khác, ta lại có \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\) \(\Rightarrow\) \(xy+yz+xz=0\) \(\left(4\right)\) (do \(xyz\ne0\))
Do đó, từ \(\left(3\right)\) và \(\left(4\right)\) \(\Rightarrow\) \(x^2+y^2+z^2=1\)
Vậy, \(B=1\)
7 tháng 1 2020
Áp dụng bđt AM-GM ta được:
\(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y+z}{4}\ge2\sqrt{\frac{x^2}{y+z}.\frac{y+z}{4}}=x\)
\(\frac{y^2}{z+x}+\frac{z+x}{4}\ge2\sqrt{\frac{y^2}{z+x}.\frac{z+x}{4}}=y\)
\(\frac{z^2}{x+y}+\frac{x+y}{4}\ge2\sqrt{\frac{z^2}{x+y}.\frac{x+y}{4}}=z\)
Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta được
\(A+\frac{x+y+z}{2}\ge x+y+z\)
\(\Rightarrow A\ge\frac{x+y+z}{2}=1\)
Dấu"="xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{2}{3}\)
8 tháng 1 2020
Cách 2:Dù dài hơn Lê Tài Bảo Châu
\(\frac{x^2}{y+z}+x=\frac{x^2+x\left(y+z\right)}{y+z}=\left(x+y+z\right)\cdot\frac{x}{y+z}\)
\(\frac{y^2}{z+x}+y=\left(x+y+z\right)\cdot\frac{y}{z+x};\frac{z^2}{x+y}+z=\left(x+y+z\right)\cdot\frac{z}{x+y}\)
Suy ra \(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}+\left(x+y+z\right)=\left(x+y+z\right)\left(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\right)\)
Đến đây thay x+y+z=2 và BĐT netbitt là ra ( chứng minh netbitt nha )
Cách 3:
\(A=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{2}=1\)
Dấu "=" xảy ra tại \(a=b=c=\frac{2}{3}\)
9 tháng 8 2020
\(P+3=\frac{x^3}{y^2}+x+\frac{y^3}{z^2}+y+\frac{z^3}{x^2}+z\)
\(P+3\ge2\sqrt{\frac{x^4}{y^2}}+2\sqrt{\frac{y^4}{z^2}}+2\sqrt{\frac{z^4}{x^2}}=2\left(\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}\right)\)
Theo bất đẳng thức Svacso ta có
\(P+3\ge2\left(\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}\right)\ge2\left(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z}\right)=2\left(x+y+z\right)=6\)
dấu = xay ra khi x = y = z = 1
\(\Rightarrow P\ge3\)
NH
3 tháng 2 2019
AP DUNG BDT CAUCHY-SCHWAR : \(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\)(DAU "=" XAY RA KHI \(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\))
T
3 tháng 2 2019
...Cauchy-Schwarz:
\(Q\ge\frac{\left(1+2+3\right)^2}{x+y+z}=\frac{36}{1}=36\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y+z=1\\\frac{1}{x}=\frac{2}{y}=\frac{3}{z}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2x=y\\3y=2z\\z=3x\end{cases}}\)
Giải tiếp t cái dấu = :v
20 tháng 8 2020
Ta có \(\left(\frac{x^3}{y^2+z}+\frac{y^3}{z^2+x}+\frac{z^3}{x^2+y}\right)\left[x\left(y^2+x\right)+y\left(z^2+x\right)+z\left(x^2+y\right)\right]\ge\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\left(1\right)\)
Ta chứng minh \(\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\ge\frac{4}{5}\left[x\left(y^2+z\right)+y\left(z^2+x\right)+z\left(x^2+y\right)\right]\)
\(\Leftrightarrow5\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\ge4\left[x\left(y^2+z\right)+y\left(z^2+x\right)+z\left(x^2+y\right)\right]\left(2\right)\)
Thật vậy \(\hept{\begin{matrix}3\left(\Sigma x^2\right)^2\ge\left(\Sigma x^2\right)\cdot\Sigma x^2=4\Sigma zx\left(3\right)\\2\left(\Sigma x^2\right)^2\ge4\Sigma xy^2\left(4\right)\end{matrix}\Leftrightarrow2\left(\Sigma x^2\right)^2\ge\Sigma xy^2\left(x+y+z\right)}\)(*)
Từ các Bất Đẳng Thức \(\hept{\begin{cases}\frac{x^4-2x^3z+z^2x^2}{2}\ge0\\\frac{x^4+y^4+2x^4}{4}\ge xyz^2\end{cases}}\)=> (*) đúng
Như vậy (3),(4) đúng => (2) đúng
Từ đó suy ra \(T\ge\frac{4}{5}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{2}{3}\)
\(B=\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{x+y}\)
Áp dụng BĐT cô si:
\(\frac{x^2}{x+y}+\frac{x+y}{4}\ge2\sqrt{\frac{x^2}{x+y}.\frac{x+y}{4}}=x\)
CMTT: \(\frac{y^2}{y+z}+\frac{y+z}{4}\ge y\)
\(\frac{z^2}{x+z}+\frac{x+z}{4}\ge z\)
Cộng vế với vế ta được:
\(\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{x+z}+\frac{x+y}{4}+\frac{y+z}{4}+\frac{x+z}{4}\ge x+y+z\)
\(\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{x+z}\ge4-\frac{2.\left(x+y+z\right)}{4}=4-2=2\)
\(B\ge2\)
Dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{4}{3}\)
sờ vác xơ
\(B=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\)
\(\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}\)
\(=2\)
Dấu "=" xảy ra tại \(x=y=z=\frac{4}{3}\)