Với mọi a,b,c, chứng minh:
a,\(a^4+b^4+c^4\ge a^2bc+b^2ac+c^2ab\)
b,\(a^4+b^4+c^4\ge a^3b+b^3c+c^3a\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
LV
2
14 tháng 3 2017
Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương ta được :
\(\dfrac{a^2}{b+3c}+\dfrac{b+3c}{16}\ge2\sqrt{\dfrac{a^2}{b+3c}\times\dfrac{b+3c}{16}}=\dfrac{2a}{4}\)
Suy ra \(\dfrac{a^2}{b+3c}\ge\dfrac{2a}{4}-\dfrac{b+3c}{16}\)
Cmtt ta cũng được :
\(\dfrac{b^2}{c+3a}\ge\dfrac{2b}{4}-\dfrac{c+3a}{16}\) \(\dfrac{c^2}{a+3b}\ge\dfrac{2c}{4}-\dfrac{a+3b}{16}\)
Khi đó :
\(\dfrac{a^2}{b+3c}+\dfrac{b^2}{c+3a}+\dfrac{c^2}{a+3b}\ge\dfrac{2a}{4}-\dfrac{b+3c}{16}+\dfrac{2b}{4}-\dfrac{c+3a}{16}+\dfrac{2c}{4}-\dfrac{a+3b}{16}\)
mà \(\dfrac{2a}{4}-\dfrac{b+3c}{16}+\dfrac{2b}{4}-\dfrac{c+3a}{16}+\dfrac{2c}{4}-\dfrac{a+3b}{16}=\dfrac{a+b+c}{4}\)
Vậy \(\dfrac{a^2}{b+3c}+\dfrac{b^2}{c+3a}+\dfrac{c^2}{a+3b}\ge\dfrac{a+b+c}{4}\)
KK
7 tháng 5 2017
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức
\(\Rightarrow\dfrac{a^2}{b+3c}+\dfrac{b^2}{c+3a}+\dfrac{c^2}{a+3b}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{4\left(a+b+c\right)}=\dfrac{a+b+c}{4}\) (đpcm)
Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c\)
17 tháng 5 2019
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:
\(\left(1+1+1\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c=1
Có: \(ab+bc+ca\le\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2\Leftrightarrow a+b+c\ge3\)( bạn tự c/m nhé )
Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c
Áp dụng BĐT Cauchy-schwarz ta có:
\(\frac{a^4}{b+3c}+\frac{b^4}{c+3a}+\frac{c^4}{a+3b}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{4\left(a+b+c\right)}\ge\frac{\left[\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\right]^2}{4\left(a+b+c\right)}=\frac{\left(a+b+c\right)^3}{36}\ge\frac{27}{36}=\frac{3}{4}\)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c=1 ( bạn tự giải rõ ra nhé )
17 tháng 3 2020
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có :
\(\left(1+1+1\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Ta có : \(ab+bc+ca\le\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2\Leftrightarrow a+b+c\ge3\) ( tự chứng minh ạ )
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)
Áp dụng BĐT Cachy Schwarz ta có :
\(\frac{a^4}{b+3c}+\frac{b^4}{c+3a}+\frac{c^4}{a+3b}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{4\left(a+b+c\right)}\) \(\ge\frac{\left[\frac{\left(a+b+c\right)}{3}\right]^2}{4\left(a+b+c\right)}=\frac{\left(a+b+c\right)^3}{36}\)
\(\ge\frac{27}{36}=\frac{3}{4}\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\) ( bạn tự giải rõ ạ )
17 tháng 1 2017
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng phân thức là có ngay mà?
\(\frac{a^2}{b+3c}+\frac{b^2}{c+3a}+\frac{c^2}{a+3b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{4\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{4}\)
hello