K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

23 tháng 2 2020

Áp dụng bđt Cauchy cho 2 số dương:

\(A=x+\frac{1}{x}=\frac{8x}{9}+\frac{x}{9}+\frac{1}{x}\ge\frac{8.3}{9}+2\sqrt{\frac{x}{9}.\frac{1}{x}}=\frac{10}{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi x=3

23 tháng 2 2020

\(A=\left(\frac{x}{9}+\frac{1}{x}\right)+\frac{8}{9}x\)

\(\ge2\sqrt{\frac{x}{9}.\frac{1}{x}}+\frac{8}{9}\times3\) \(=2\times\frac{1}{3}+\frac{8}{3}=\frac{10}{3}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{x}{9}=\frac{1}{x}\Leftrightarrow x=3\left(tmđk\right)\)

13 tháng 5 2019

Ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge1\\y\ge2\\z\ge3\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x-1}\ge0\\\sqrt{y-2}\ge0\\\sqrt{z-3}\ge0\end{matrix}\right.\Rightarrow\sqrt{x-1}+\sqrt{y-2}+\sqrt{z-3}\ge0\)

Đặt \(\sqrt{x-1}=a;\sqrt{y-2}=b;\sqrt{z-3}=c\)

\(\Rightarrow A=\frac{a}{a^2+1}+\frac{b}{b^2+1}+\frac{c}{c^2+1}\)

\(\sum\frac{a}{a^2+1}=\sum\left(a-\frac{a^3}{a^2+1}\right)\ge\sum\left(a-\frac{a}{2}\right)=\frac{a+b+c}{2}\)

\(\Rightarrow A\ge\frac{\sqrt{x-1}+\sqrt{y-2}+\sqrt{z-3}}{2}=0\)

Vậy \(MIN_A=0\) khi \(x=1;y=2;z=3\)

NV
13 tháng 5 2019

\(A=\frac{1.\sqrt{x-1}}{x}+\frac{1}{\sqrt{2}}.\frac{\sqrt{2}.\sqrt{y-2}}{y}+\frac{1}{\sqrt{3}}.\frac{\sqrt{3}.\sqrt{z-3}}{z}\)

\(A\ge\frac{1+x-1}{2x}+\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{2+y-2}{2y}\right)+\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\frac{3+z-3}{2z}\right)=\frac{6+3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}{12}\)

\(\Rightarrow A_{min}=\frac{6+3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}{12}\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x-1}=1\\\sqrt{y-2}=\sqrt{2}\\\sqrt{z-3}=\sqrt{3}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=4\\z=6\end{matrix}\right.\)

Y
13 tháng 6 2019

\(T=21x+\frac{21}{y}+3y+\frac{3}{x}\)

\(=\frac{x}{3}+\frac{3}{x}+\frac{21}{y}+\frac{7y}{3}+\frac{62x}{3}+\frac{2y}{3}\)

\(\ge2\sqrt{\frac{x}{3}\cdot\frac{3}{x}}+2\sqrt{\frac{21}{y}\cdot\frac{7y}{3}}+\frac{62\cdot3}{3}+\frac{2\cdot3}{3}\)

\(=2+14+62+2=80\)

\(T=80\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{x}{3}=\frac{3}{x}\\\frac{21}{y}=\frac{7y}{3}\\x=3\\y=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=3\)

13 tháng 7 2020

Giả thiết \(x,y\ge3\)

BĐT Bunhiacopxky em chưa học cô ạ

Cô cong cách nào không ạ

AH
Akai Haruma
Giáo viên
1 tháng 6 2020

Nguyễn Thị Nguyệt Ánh:

Vậy thì bạn có thể chứng minh $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{9}{x+y+z}$ thông qua BĐT Cô-si:

Áp dụng BĐT Cô-si:

$x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}$

$xy+yz+xz\geq 3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}$

Nhân theo vế:

$(x+y+z)(xy+yz+xz)\geq 9xyz$

$\Rightarrow \frac{xy+yz+xz}{xyz}\geq \frac{9}{x+y+z}$
hay $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{9}{x+y+z}$

12 tháng 12 2019

a)\(M=\left(\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}+\frac{\sqrt{x}+2}{3-\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}+2}{x-5\sqrt{x}+6}\right):\left(1-\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\right)\)

\(=\left(\frac{x-9}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}-\frac{x-4}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}+\frac{\sqrt{x}+2}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\right):\left(\frac{\sqrt{x}+1-\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\right)\)

\(=\frac{\sqrt{x}-3}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}.\left(\sqrt{x}+1\right)\)

\(=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-2}\)

b)\(\frac{1}{M}=\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1}=\frac{\sqrt{x}+1-3}{\sqrt{x}+1}=1-\frac{3}{\sqrt{x}+1}\)

Ta có: \(\sqrt{x}\ge0,\forall x\ge0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}+1\ge1\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{\sqrt{x}+1}\le1\)

\(\Leftrightarrow\frac{3}{\sqrt{x}+1}\le3\)

\(\Leftrightarrow-\frac{3}{\sqrt{x}+1}\ge-3\)

\(\Leftrightarrow1-\frac{3}{\sqrt{x}+1}\ge-2\)

Dấu "=" xảy ra khi x=0

Vậy \(Min_{\frac{1}{M}}=-2\) khi x=0

13 tháng 12 2019

Thankssss!!

\(A=\frac{1}{x^3+y^3}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{\left(x+y\right)\left[\left(x+y\right)^2-3xy\right]}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{1-3xy}+\frac{1}{xy}\)

Theo BĐT Cô si ta có :

\(A=\frac{1}{1-3xy}+\frac{3}{3xy}\ge\frac{\left(1+\sqrt{3}\right)^2}{1-3xy+3xy}=4+2\sqrt{2}\)

Vậy BĐT đã được chứng minh .

5 tháng 12 2019

\(Q=\Sigma\frac{x^4}{x^2+\sqrt{xy.zx}}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx}\ge\frac{x^2+y^2+z^2}{2}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{6}=\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1 

NV
10 tháng 1 2021

\(P+3=x+\left(y^2+1\right)+\left(z^3+1+1\right)\ge x+2y+3z\)

\(\Rightarrow P\ge x+2y+3z-3\)

\(6=\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{2y}+\dfrac{9}{3z}\ge\dfrac{\left(1+2+3\right)^2}{x+2y+3z}\)

\(\Rightarrow x+2y+3z\ge6\Rightarrow P\ge3\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)