Tìm x,y nguyên thỏa mãn x^2 +y^2=x+6
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
xy+6=2(x+y)
=>xy-2x-2y+6=0
=>x(y-2)-2y+4+2=0
=>x(y-2)-2(y-2)=-2
=>(x-2)(y-2)=-2
=>\(\left(x-2\right)\cdot\left(y-2\right)=1\cdot\left(-2\right)=\left(-2\right)\cdot1=\left(-1\right)\cdot2=2\cdot\left(-1\right)\)
=>\(\left(x-2;y-2\right)\in\left\{\left(1;-2\right);\left(-2;1\right);\left(-1;2\right);\left(2;-1\right)\right\}\)
=>\(\left(x,y\right)\in\left\{\left(3;0\right);\left(0;3\right);\left(1;4\right);\left(4;1\right)\right\}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a) \(\left(x+y+1\right)^3=x^3+y^3+7\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^3+3\left(x+y\right)\left(x+y+1\right)+1=x^3+y^3+7\)
\(\Leftrightarrow x^3+y^3+3xy\left(x+y\right)+3\left(x+y\right)\left(x+y+1\right)+1=x^3+y^3+7\)
\(\Leftrightarrow3\left(x+y\right)\left(x+y+xy+1\right)=6\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left[x\left(1+y\right)+1+y\right]=2\)
\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(x+y\right)=2\)
\(\Rightarrow x+1,y+1,x+y\) là các ước của 2.
Ta thấy 6 có 2 dạng phân tích thành tích 3 số nguyên là \(\left(2;1;1\right)\) và\(\left(2;-1;-1\right)\).
- Xét trường hợp \(\left(2;1;1\right)\). Ta có 3 trường hợp nhỏ:
\(\left\{{}\begin{matrix}x+1=2\\y+1=1\\x+y=1\end{matrix}\right.\) ; \(\left\{{}\begin{matrix}x+1=1\\y+1=2\\x+y=1\end{matrix}\right.\) ; \(\left\{{}\begin{matrix}x+1=1\\y+1=1\\x+y=2\end{matrix}\right.\)
Giải ra ta có \(\left(x,y\right)=\left(1;0\right),\left(0;1\right)\).
- Xét trường hợp \(\left(2;-1;-1\right)\). Ta có 3 trường hợp nhỏ:
\(\left\{{}\begin{matrix}x+1=2\\y+1=-1\\x+y=-1\end{matrix}\right.\) ; \(\left\{{}\begin{matrix}x+1=-1\\y+1=2\\x+y=-1\end{matrix}\right.\) ; \(\left\{{}\begin{matrix}x+1=-1\\y+1=1\\x+y=2\end{matrix}\right.\).
Giải ra ta có: \(\left(x;y\right)=\left(1;-2\right),\left(-2;1\right)\).
Vậy \(\left(x;y\right)=\left(0;1\right),\left(1;0\right),\left(1;-2\right),\left(-2;1\right)\)
b) \(y^2+2xy-8x^2-5x=2\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+2xy+y^2\right)-\left(9x^2+5x\right)=2\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-9\left(x^2+\dfrac{5}{9}x+\dfrac{25}{324}\right)+\dfrac{25}{36}=2\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-9\left(x+\dfrac{5}{18}\right)^2=\dfrac{47}{36}\)
\(\Leftrightarrow6^2.\left(x+y\right)^2-3^2.6^2\left(x+\dfrac{5}{18}\right)^2=47\)
\(\Leftrightarrow\left(6x+6y\right)^2-\left(18x+5\right)^2=47\)
\(\Leftrightarrow\left(6x+6y-18x-5\right)\left(6x+6y+18x+5\right)=47\)
\(\Leftrightarrow\left(6y-12x-5\right)\left(24x+6y+5\right)=47\)
\(\Rightarrow\)6y-12x-5 và 24x+6y+5 là các ước của 47.
Lập bảng:
6y-12x-5 | 1 | 47 | -1 | -47 |
24x+6y+5 | 47 | 1 | -47 | -1 |
x | 1 | \(\dfrac{-14}{9}\left(l\right)\) | \(\dfrac{-14}{9}\left(l\right)\) | 1 |
y | 3 | \(\dfrac{50}{9}\left(l\right)\) | \(-\dfrac{22}{9}\left(l\right)\) | -5 |
Vậy pt đã cho có 2 nghiệm (x;y) nguyên là (1;3) và (1;-5)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(\left(x+y\right)^3=\left(x-y-6\right)^2\)
Vì \(x,y>0\Rightarrow\left(x+y\right)^3>\left(x+y\right)^2\)
Mà \(\left(x+y\right)^3=\left(x-y-6\right)^2\)
Nên \(\left(x-y-6\right)^2>\left(x+y\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-\left(x-y-6\right)^2< 0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+x-y-6\right)\left(x+y-x+y+6\right)< 0\)
\(\Leftrightarrow\left(2x-6\right)\left(2y+6\right)< 0\)
\(\Leftrightarrow4\left(x-3\right)\left(y+3\right)< 0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(y+3\right)< 0\)
Do đó \(x-3\)và \(y+3\)trái dấu với nhau.
Mà \(y>0\Rightarrow y+3>0\)
Do đó \(x-3< 0\Leftrightarrow x< 3\)
Mà \(x>0\)nên \(x\in\left\{1;2\right\}\)
Với \(x=1\)thì phương trinh trở thành:
\(\left(1+y\right)^3=\left(1-y-6\right)^2\)
\(\Leftrightarrow y^3+3y^2+3y+1=\left(-y-5\right)^2\)
\(\Leftrightarrow y^3+3y^2+3y+1=y^2+10y+25\)
\(\Leftrightarrow y^3+3y^2+3y+1-y^2-10y-25=0\)
\(\Leftrightarrow y^3+2y^2-7y-24=0\)
\(\Leftrightarrow\left(y^3-3y^2\right)+\left(5y^2-15y\right)+\left(8y-24\right)=0\)
\(\Leftrightarrow y^2\left(y-3\right)+5y\left(y-3\right)+8\left(y-3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(y^2+5y+8\right)\left(y-3\right)=0\)
Mà \(y>0\Rightarrow y^2+5y+8>0\), do đó:
\(y-3=0:\left(y^2+5y+8\right)\)
\(\Leftrightarrow y-3=0\)
\(\Leftrightarrow y=3\)(thỏa mãn \(y>0\))
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Chọn lớp hơi sai sai thi phải
đúng mà