CMR: a(b-c)(b+c-a)^2+c(a-b)(a+b-c)^2=b(a-c)(a+c-b)^2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
OS
0
LN
2
6 tháng 4 2016
(a^3 + b^3)/2ab + (b^3 + c^3)/2bc + (c^3 + a^3)/2ac >= a + b + c
<=> a^2/2b + b^2/2a + b^2/2c + c^2/2c + c^2/2a + a^2/2c >= a + b + c
Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số dương, ta có:
a^2/b + b >= 2√(a^2/b.b) = 2a
<=> (a^2/b + b)/2 >= a
<=> a^2/2b + b/2 >= a
<=> a^2/2b >= a - b/2 (1)
CM tương tự, ta có:
a^2/2c >= a - c/2 (2)
b^2/2a >= b - a/2 (3)
b^2/2c >= b - c/2 (4)
b^2/2c >= c - a/2 (5)
c^2/2b >= c - b/2 (6)
Công các vế của BĐT (1), (2), (3), (4), (5), (6), ta được:
a^2/2b + a^2/2c + b^2/2a + b^2/2c + b^2/2c + c^2/2b >= a - b/2 + b - a/2 + b - c/2 + a - c/2 + c - a/2 + c - b/2
<=> a^2/2b + a^2/2c + b^2/2a + b^2/2c + b^2/2c + c^2/2b >= a + b + c
=> (a^3 + b^3)/2ab + (b^3 + c^3)/2bc + (c^3 + a^3)/2ac >= a + b + c
Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c
N
10 tháng 8 2015
B1:a2+b2+c2=ab+bc+ac tương đương 2(a2+b2+c2) - 2(ab+bc+ac) =0
suy ra 2a2 +2b2 +2c2 -2ab-2bc-2ac=0
suy ra (a2 -2ab+b2) +(b2-2bc+c2)+(a2-2ac+c2)=0
suy ra (a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0 suy ra (a-b)2=0 tương đương a-b=0 suy ra a=b (1)
(b-c)2=0 tương đương b-c=0 suy ra b=c (2)
(a-c)2 =0 tương đương a-c=0 suy ra b=c (3)
từ (1);(2);(3)suy ra a=b=c.Mà a=b=c=9 suy ra a=b=c=3(đpcm)
21 tháng 7 2017
bai 1 : ve trai : a2 + b2 + c2 = a.a + b.b + c.c = (a.b) + (b.c) +(c.a) = ab + bc +ca = ve phai
ma a+b+c=9 suy ra : 3+3+3=9 suy ra a ;b;c deu bang 3
vi ve trai = ve phai ma a ;b ;c =3 vay dang thuc duoc chung minh
22 tháng 11 2018
Câu 1
Ta có : \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=>\left(\frac{a}{b}+1\right)=\left(\frac{c}{d}+1\right)\left(=\right)\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}\)
=> ĐPCM
Câu 2
Ta có \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=>\frac{b}{a}=\frac{d}{c}=>\left(\frac{b}{a}+1\right)=\left(\frac{d}{c}+1\right)\left(=\right)\frac{b+a}{a}=\frac{d+c}{c}=>\frac{a}{b+a}=\frac{c}{d+c}\)
=> ĐPCM
Câu 3
22 tháng 11 2018
Câu 3
Ta có \(\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}\)(=) (a+b).(c-d)=(a-b).(c+d)(=)ac-ad+bc-bd=ac+ad-bc-bd(=)-ad+bc=ad-bc(=) bc+bc=ad+ad(=)2bc=2ad(=)bc=ad=> \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)
=> ĐPCM
Câu 4
Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\)
\(=>\hept{\begin{cases}a=bk\\c=dk\end{cases}}\)
Ta có \(\frac{ac}{bd}=\frac{bk.dk}{bd}=k^2\left(1\right)\)
Lại có \(\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}=\frac{b^2k^2+c^2k^2}{b^2+d^2}=\frac{k^2.\left(b^2+d^2\right)}{b^2+d^2}=k^2\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) => ĐPCM
TP
0
\(a\left(b-c\right)\left(b+c-a\right)^2+c\left(a-b\right)\left(a+b-c\right)^2\)
\(=\left(ab-ac\right)\left(a^2+b^2+c^2+2bc-2ab-2ca\right)\)
\(+\left(ac-bc\right)\left(a^2+b^2+c^2+2ab-2bc-2ca\right)\)
\(=-ac^3+\left(2a^2-ab\right)c^2+\left(ab^2-a^3\right)c+ab^3-2a^2b^2+a^3b\)
\(+\left(a-b\right)c^3+\left(2b^2-2a^2\right)c^2+\left(-b^3-ab^2+a^2b+a^3\right)c\)
\(=-bc^3+\left(2b^2-ab\right)c^2+\left(a^2b-b^3\right)c+ab^3-2a^2b^2+a^3b\)
\(=-b\left(c-a\right)\left(a^2+b^2+c^2+2ca-2ab-2bc\right)\)
\(=b\left(a-c\right)\left(a+c-b\right)^2\)(đpcm)