K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

6 tháng 4 2016

(a^3 + b^3)/2ab + (b^3 + c^3)/2bc + (c^3 + a^3)/2ac >= a + b + c 
<=> a^2/2b + b^2/2a + b^2/2c + c^2/2c + c^2/2a + a^2/2c >= a + b + c 

Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số dương, ta có: 
a^2/b + b >= 2√(a^2/b.b) = 2a 
<=> (a^2/b + b)/2 >= a 
<=> a^2/2b + b/2 >= a 
<=> a^2/2b >= a - b/2 (1) 

CM tương tự, ta có: 
a^2/2c >= a - c/2 (2) 
b^2/2a >= b - a/2 (3) 
b^2/2c >= b - c/2 (4) 
b^2/2c >= c - a/2 (5) 
c^2/2b >= c - b/2 (6) 

Công các vế của BĐT (1), (2), (3), (4), (5), (6), ta được: 
a^2/2b + a^2/2c + b^2/2a + b^2/2c + b^2/2c + c^2/2b >= a - b/2 + b - a/2 + b - c/2 + a - c/2 + c - a/2 + c - b/2 
<=> a^2/2b + a^2/2c + b^2/2a + b^2/2c + b^2/2c + c^2/2b >= a + b + c 
=> (a^3 + b^3)/2ab + (b^3 + c^3)/2bc + (c^3 + a^3)/2ac >= a + b + c 

Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c

đâu giống đề

10 tháng 2 2020

\(a\left(b-c\right)\left(b+c-a\right)^2+c\left(a-b\right)\left(a+b-c\right)^2\)

\(=\left(ab-ac\right)\left(a^2+b^2+c^2+2bc-2ab-2ca\right)\)

\(+\left(ac-bc\right)\left(a^2+b^2+c^2+2ab-2bc-2ca\right)\)

\(=-ac^3+\left(2a^2-ab\right)c^2+\left(ab^2-a^3\right)c+ab^3-2a^2b^2+a^3b\)

\(+\left(a-b\right)c^3+\left(2b^2-2a^2\right)c^2+\left(-b^3-ab^2+a^2b+a^3\right)c\)

\(=-bc^3+\left(2b^2-ab\right)c^2+\left(a^2b-b^3\right)c+ab^3-2a^2b^2+a^3b\)

\(=-b\left(c-a\right)\left(a^2+b^2+c^2+2ca-2ab-2bc\right)\)

\(=b\left(a-c\right)\left(a+c-b\right)^2\)(đpcm)

10 tháng 8 2015

B1:a2+b2+c2=ab+bc+ac tương đương 2(a2+b2+c2) - 2(ab+bc+ac) =0

suy ra 2a2 +2b+2c-2ab-2bc-2ac=0

suy ra (a2 -2ab+b2) +(b2-2bc+c2)+(a2-2ac+c2)=0

suy ra (a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0    suy ra  (a-b)2=0 tương đương a-b=0 suy ra a=b  (1)

                                                        (b-c)2=0  tương đương b-c=0 suy ra b=c   (2)

                                                         (a-c)2 =0 tương đương a-c=0 suy ra b=c    (3)

từ (1);(2);(3)suy ra a=b=c.Mà a=b=c=9 suy ra a=b=c=3(đpcm)

21 tháng 7 2017

bai 1 : ve trai : a + b + c = a.a + b.b + c.c = (a.b) + (b.c) +(c.a) = ab + bc +ca = ve phai

ma a+b+c=9 suy ra : 3+3+3=9 suy ra a ;b;c deu bang 3 

vi ve trai = ve phai ma a ;b ;c =3 vay dang thuc duoc chung minh

14 tháng 4 2018

áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số dương

\(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{b^2}\cdot\frac{b^2}{c^2}}=2\frac{a}{c}\)

\(\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge2\frac{b}{a}\)

\(\frac{c^2}{a^2}+\frac{a^2}{b^2}\ge2\frac{c}{b}\)

cộng vế theo vế 

\(2\left(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\right)\ge2\left(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\right)\)

dấu "=" xảy ra khi \(\frac{a^2}{b^2}=\frac{b^2}{c^2}=\frac{c^2}{a^2}\Leftrightarrow a=b=c\)