Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác.C/M:\(2\cdot\left(a\cdot b+b\cdot c+c\cdot a\right)>a^2+b^2+c^2\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
14 tháng 6 2021
BĐT cần CM tương đương:
\(3-VT\ge1\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2+2bc-a\left(b+c\right)}{a^2+2bc}+...\ge1\) (1)
\(VT\left(1\right)=\frac{\left[a^2+2bc-a\left(b+c\right)\right]^2}{\left(a^2+2bc\right)\left[a^2+2bc-a\left(b+c\right)\right]}+...\)
\(\ge\frac{\left[a^2+2bc-a\left(b+c\right)+b^2+2ca-b\left(c+a\right)+c^2+2ab-c\left(a+b\right)\right]^2}{\left(a^2+2bc\right)\left[a^2+2bc-a\left(b+c\right)\right]+...}\)
\(=\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(a^2+2bc\right)\left[a^2+2bc-a\left(b+c\right)\right]+...}\) (2)
Ta cần chứng minh mẫu của (2) \(\le\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\)
... Tự biến đổi ra thôi thi ta được 1 biểu thức không âm luôn đúng
=> BĐT trên đúng
=> đpcm
Dấu "=" xảy ra khi: a = b = c
10 tháng 8 2016
Bài 1 :
a) Ta có : \(\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)=\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)
Áp dụng bđt Cauchy : \(a+b\ge2\sqrt{ab}\) , \(b+c\ge2\sqrt{bc}\) , \(c+a\ge2\sqrt{ca}\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\) hay \(\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\ge8abc\)
26 tháng 11 2022
\(C=\dfrac{\left(b-c+c-a\right)^3+3\left(b-c\right)\left(c-a\right)\left(b-c+c-a\right)+\left(a-b\right)^3}{a^2b-a^2c+b^2c-b^2a+c^2a-c^2b}\)
\(=\dfrac{3\left(b-c\right)\left(c-a\right)\left(b-a\right)}{a^2b-b^2a-a^2c+b^2c+c^2a-c^2b}\)
\(=\dfrac{3\left(b-c\right)\left(c-a\right)\left(b-a\right)}{\left(a-b\right)\cdot ab-c\left(a-b\right)\left(a+b\right)+c^2\left(a-b\right)}\)
\(=\dfrac{3\left(b-c\right)\left(a-c\right)\left(a-b\right)}{\left(a-b\right)\left(ab-ac-bc+c^2\right)}\)
\(=\dfrac{3\left(b-c\right)\left(a-c\right)}{a\left(b-c\right)-c\left(b-c\right)}=3\)
PN
8 tháng 11 2015
a. Ta có:
\(a^2\left(b-c\right)+b^2\left(c-a\right)+c^2\left(a-b\right)=a^2\left(b-c\right)-b^2\left(b-c+a-b\right)+c^2\left(a-b\right)=a^2\left(b-c\right)-b^2\left(b-c\right)-b^2\left(a-b\right)+c^2\left(a-b\right)\)
\(=\left(a-b\right)\left(c-a\right)\left(c-b\right)\)
và \(ab^2-ac^2-b^3+bc^2=a\left(b^2-c^2\right)-b\left(b^2-c^2\right)=\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(b+c\right)\)
Vậy, \(A=\frac{\left(a-b\right)\left(c-a\right)\left(c-b\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(b+c\right)}=\frac{c-a}{-c-b}=\frac{a-c}{c+b}\)
2 tháng 9 2022
a: Đặt a/b=c/d=k
=>a=bk; c=dk
\(\left(\dfrac{a+b}{c+d}\right)^2=\left(\dfrac{bk+b}{dk+d}\right)^2=\dfrac{b^2}{d^2}\)
\(\dfrac{a^2+b^2}{c^2+d^2}=\dfrac{b^2k^2+b^2}{d^2k^2+d^2}=\dfrac{b^2}{d^2}\)
Do đó: \(\left(\dfrac{a+b}{c+d}\right)^2=\dfrac{a^2+b^2}{c^2+d^2}\)
b: \(\dfrac{ab}{cd}=\dfrac{bk\cdot b}{dk\cdot d}=\dfrac{b^2}{d^2}\)
\(\left(\dfrac{a-b}{c-d}\right)^2=\left(\dfrac{bk-b}{dk-d}\right)^2=\dfrac{b^2}{d^2}\)
Do đó: \(\dfrac{ab}{cd}=\left(\dfrac{a-b}{c-d}\right)^2\)
5 tháng 11 2019
\(x^3-y^3-36xy\)
\(=\left(x-y\right)^3+3xy\left(x-y\right)-36xy\)
\(=12^3+36xy-36xy\)
\(=1728\)
27 tháng 8 2019
Câu hỏi của Tăng Thiện Đạt - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
\(a< b+c\Rightarrow a^2< ab+ac\)
Tương tự:\(b^2< bc+ab;c^2< ca+cb\)
Cộng lại có đpcm