Với a > 0. Hãy chứng tỏ 4a + \(\frac{1}{a}\ge4\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
9 tháng 5 2018
\(4a+\frac{1}{a}\ge4\)
\(\Leftrightarrow4a^2+1\ge4a\)
\(\Leftrightarrow4a^2-4a+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(2a\right)^2-2\times2a\times1+1^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(2a-1\right)^2\ge0\) đúng
Dấu = xảy ra khi \(a=\frac{1}{2}\)
19 tháng 4 2019
a, Áp dụng bđt Cauchy ta có
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}=2\)
19 tháng 4 2019
b, a(a+2)<(a+1)2
=>a2+2a<a2+2a+1(đúng)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
5 tháng 8 2020
\(3=a+b+ab\le a+b+\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\Rightarrow\left(a+b\right)^2+4\left(a+b\right)-12\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b-2\right)\left(a+b+6\right)\ge0\Rightarrow a+b\ge2\)
Đặt vế trái của BĐT là P
\(P=\frac{4a\left(a+1\right)+4b\left(b+1\right)}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}+2ab-\sqrt{7-3\left(3-a-b\right)}\)
\(P=\frac{4\left(a^2+b^2+a+b\right)}{ab+a+b+1}+2ab-\sqrt{3\left(a+b\right)-2}\)
\(P=a^2+b^2+a+b+2ab-\sqrt{3\left(a+b\right)-2}\)
\(P=\left(a+b\right)^2+a+b-\sqrt{3\left(a+b\right)-2}\)
Đặt \(\sqrt{3\left(a+b\right)-2}=x\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge2\\a+b=\frac{x^2+2}{3}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow P=\left(\frac{x^2+2}{3}\right)^2+\frac{x^2+2}{3}-x=\frac{x^4+7x^2-9x+10}{9}\)
\(P=\frac{x^4+7x^2-9x-26+36}{9}=\frac{\left(x-2\right)\left(x^3+2x^2+11x+13\right)}{9}+4\ge4\) ; \(\forall x\ge2\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=2\) hay \(a=b=1\)
MP
14 tháng 7 2020
Áp dụng bất đẳng thức cô si cho 2 số không âm, ta có :
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\) ( 1 )
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge2\sqrt{\frac{1}{ab}}\) ( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 ) nhân vế theo vế, ta có :
\(\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge4\)
\(\Rightarrow\) đpcm
AH
Akai Haruma
Giáo viên
14 tháng 7 2020
Lời giải:
Với $a,b>0$:
$(a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\geq 4$
$\Leftrightarrow (a+b).\frac{a+b}{ab}\geq 4$
$\Leftrightarrow (a+b)^2\geq 4ab$
$\Leftrightarrow (a+b)^2-4ab\geq 0$
$\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\geq 0$
$\Leftrightarrow (a-b)^2\geq 0$ (luôn đúng)
Do đó BĐT trên được chứng minh
Dấu "=" xảy ra khi $a=b$
VA
0
VH
7 tháng 6 2019
\(\frac{a+c}{ac}=\frac{2}{b}\) => \(b=\frac{2ac}{a+c}\) thay vào BĐT cần chứng minh, ta được:
\(\frac{a+\frac{2ac}{a+c}}{2a-\frac{2ac}{a+c}}+\frac{c+\frac{2ac}{a+c}}{2c-\frac{2ac}{a+c}}=\frac{a^2+3ac}{2a^2}+\frac{c^2+3ac}{2c^2}\)
\(=\frac{2a^2c^2+3a^3c+3ac^3}{2a^2c^2}\ge4\)
<=> 3a3c-6a2c2+3ac3 ≥ 0
<=> 3ac(a-c)2 ≥ 0 luôn đúng ∀ a,c > 0
Vậy BĐT được chứng minh, đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=c; b≠0
16 tháng 7 2020
Ta có:
\(\frac{3}{a}+\frac{3}{b}=3\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge3.\frac{4}{a+b}=4.\frac{3}{a+b}\)
\(\frac{2}{b}+\frac{2}{c}\ge4.\frac{2}{b+c}\)
\(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\ge4.\frac{1}{a+c}\)
=> \(\frac{4}{a}+\frac{5}{b}+\frac{3}{c}\ge4\left(\frac{3}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c
5 tháng 6 2019
tham khảo nhé :)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{2}{b}\)\(\Leftrightarrow\frac{a+c}{ac}=\frac{2}{b}\)\(\Leftrightarrow b=\frac{2ac}{a+c}\)
Ta có : \(\frac{a+b}{2a-b}=\frac{a+\frac{2ac}{a+c}}{2a-\frac{2ac}{a+c}}=\frac{a\left(a+3c\right)}{2a^2}=\frac{a+3c}{2a}\)
tương tự : \(\frac{b+c}{2c-b}=\frac{c+3a}{2c}\)
\(\frac{a+b}{2a-b}+\frac{c+b}{2c-b}=\frac{a+3c}{2a}+\frac{c+3a}{2c}=\frac{2ac+3\left(a^2+c^2\right)}{2ac}\ge\frac{2ac+3.2ac}{2ac}=\frac{8ac}{2ac}=4\)
Theo BĐT Cô si ta có:
\(4a+\frac{1}{a}\ge2\sqrt{4a\cdot\frac{1}{a}}=4\)
Dấu "=" xảy ra tại \(a=\frac{1}{2}\)
Ta có: \(\left(2a-1\right)^2\ge0\forall a\)
\(\Leftrightarrow4a^2-4a+1\ge0\forall a\)
\(\Leftrightarrow4a^2+1\ge4a\forall a\)
\(\Leftrightarrow\frac{4a^2+1}{a}\ge4\forall a>0\)
\(\Leftrightarrow4a+\frac{1}{a}\ge4\)(đpcm)
Dấu "="\(\Leftrightarrow a=\frac{1}{2}\)