K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

30 tháng 12 2019

Sửa đề : \(P=\frac{x^2+12}{x+y}+y\)

\(P=\frac{x^2}{x+y}+\frac{1}{4}\left(x+y\right)-\frac{1}{4}x+\frac{3}{4}y+\frac{12}{x+y}\)

\(\ge x-\frac{1}{4}x+\frac{3}{4}y+\frac{12}{x+y}\)( Áp dụng BĐT Cô - si )

\(=\frac{3}{4}\left(x+y\right)+\frac{12}{x+y}\)

\(\ge2\sqrt{\frac{3}{4}.12}=6\) ( Áp dụng BĐT Cô - si 1 lần nữa )
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{x^2}{x+y}=\frac{1}{4}\left(x+y\right)\\\frac{3}{4}\left(x+y\right)=\frac{12}{\left(x+y\right)}\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y\\x+y=4\end{cases}}}\)

Vậy Min P = 6 khi x = y =2

18 tháng 12 2019

Đề đúng: \(P=\frac{x^2+12}{x+y}+y\)

\(P=\frac{x^2}{x+y}+\frac{1}{4}\left(x+y\right)-\frac{1}{4}x+\frac{3}{4}y+\frac{12}{x+y}\)

\(\ge x-\frac{1}{4}x+\frac{3}{4}y+\frac{12}{x+y}\)(Áp dụng BĐT Cô-si)

\(=\frac{3}{4}\left(x+y\right)+\frac{12}{x+y}\)

\(\ge2\sqrt{\frac{3}{4}.12}=6\)(Áp dụng BĐT Cô-si 1 lần nữa)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{x^2}{x+y}=\frac{1}{4}\left(x+y\right)\\\frac{3}{4}\left(x+y\right)=\frac{12}{\left(x+y\right)}\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=y\\x+y=4\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x=y=2\)

Vậy MinP=6 khi và chỉ khi x=y=2

15 tháng 12 2019

Nguyễn Việt LâmNguyễn Lê Phước ThịnhVũ Minh TuấnBăng Băng 2k6

10 tháng 6 2019

\(P\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=1.\)

Dấu "=" xảy ra khi:

\(x=y=z=\frac{2}{3}\)

10 tháng 6 2019

Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương \(\frac{x^2}{y+z}\)và \(\frac{y+z}{4}\), ta được :

\(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y+z}{4}\ge2\sqrt{\frac{x^2}{y+z}.\frac{y+z}{4}}=2.\frac{x}{2}=x\)  ( 1 )

Tương tự : \(\frac{y^2}{x+z}+\frac{x+z}{4}\ge y\)                                       ( 2 )

                \(\frac{z^2}{x+y}+\frac{x+y}{4}\ge z\)                                          ( 3 )

Cộng ( 1 ) , ( 2 ) và ( 3 ) , ta được :

\(\left(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\right)+\frac{x+y+z}{2}\ge x+y+z\)

\(P\ge\left(x+y+z\right)-\frac{x+y+z}{2}=1\) 

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)x = y = z = \(\frac{2}{3}\)

Vậy GTNN của P là 1 \(\Leftrightarrow\)x = y = z = \(\frac{2}{3}\)

18 tháng 9 2018

\(2=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\ge\frac{2}{xy}\)

\(\Leftrightarrow xy\ge1\)

\(\Rightarrow x+y\ge2\sqrt{xy}\ge2\)

5 tháng 5 2020

Đặt S=\(\frac{\left(x+y\right)^2}{x^2+y^2}+\frac{x^2+2xy+y^2}{xy}=\frac{\left(x+y\right)^2}{x^2+y^2}+\frac{x^2+y^2}{xy}+2\)

Áp dụng BĐT Cosi ta có: \(x+y\ge2\sqrt{xy}\Leftrightarrow xy< \frac{\left(x+y\right)^2}{4}\)

Do đó \(S\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x^2+y^2}+\frac{4\left(x^2+y^2\right)}{\left(x+y\right)^2}+2\ge2\sqrt{\frac{\left(x+y\right)^2}{x^2+y^2}\cdot\frac{4\left(x^2+y^2\right)}{\left(x+y\right)^2}}+2=6\)

Dấu "=" xảy ra <=> x=y

Vậy MinS=6 đạt được khi x=y

5 tháng 5 2020

Ta có: 

\(\frac{\left(x+y\right)^2}{x^2+y^2}+\frac{\left(x+y\right)^2}{xy}\)

\(\frac{\left(x+y\right)^2}{x^2+y^2}+\frac{\left(x+y\right)^2}{2xy}+\frac{\left(x+y\right)^2}{2xy}\)

\(\ge\left(x+y\right)^2.\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+\frac{4xy}{2xy}=6\)

Dấu "=" xảy ra <=> x = y 

Vậy min \(\frac{\left(x+y\right)^2}{x^2+y^2}+\frac{\left(x+y\right)^2}{xy}\)= 6 đạt tại x = y.

30 tháng 5 2018

\(M=\frac{xy}{x^2+y^2}+\frac{x^2+y^2}{xy}\)

\(=\frac{xy}{x^2+y^2}+\frac{x^2+y^2}{4xy}+\frac{3}{4}.\frac{x^2+y^2}{xy}\)

\(\ge2\sqrt{\frac{xy}{x^2+y^2}.\frac{x^2+y^2}{4xy}}+\frac{3}{4}.\frac{2xy}{xy}\)

\(\Rightarrow M\ge1+\frac{3}{2}=\frac{5}{2}\)

Dấu = xảy ra khi \(x=y>0\)

1 tháng 7 2017

AM-GM thôi :))

\(M=1+\frac{2xy}{x^2+y^2}+\frac{x^2+y^2}{xy}+2=3+\frac{2xy}{x^2+y^2}+\frac{x^2+y^2}{2xy}+\frac{x^2+y^2}{2xy}\)

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(\frac{2xy}{x^2+y^2}+\frac{x^2+y^2}{2xy}\ge2\sqrt{\frac{2xy}{x^2+y^2}.\frac{x^2+y^2}{2xy}}=2\)

\(\frac{x^2+y^2}{2xy}\ge\frac{2xy}{2xy}=1\)

\(\Rightarrow VT\ge3+2+1=6\)

Dấu = xảy ra khi x=y

3 tháng 12 2016

Ta có: \(M=\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)=x^2y^2+1+1+\frac{1}{x^2y^2}\)\(\Rightarrow\frac{x^4y^4+2x^2y^2+1}{x^2y^2}=\frac{\left(x^2y^2+1\right)^2}{x^2y^2}=\left(xy+\frac{1}{xy}\right)^2\)\(Tac\text{ó}:xy+\frac{1}{xy}=xy+\frac{1}{16xy}+\frac{15}{16xy}\)\(\text{ \text{áp} d\text{ụng} b\text{đ}t c\text{ô} si ta c\text{ó}: }\)

Áp dụng bddt cô si ta có :\(xy+\frac{1}{16xy}\ge2\sqrt{\frac{xy.1}{16xy}}=\frac{2.1}{4}=\frac{1}{2}\)

\(xy\le\frac{\left(x+y\right)^{2\Rightarrow}}{4}\Rightarrow xy\le\frac{1}{4}\Rightarrow\)\(\frac{1}{16xy}\ge\frac{4}{16}\Leftrightarrow\)\(\frac{15}{16xy}\le\frac{60}{16}=\frac{15}{4}\)\(\Rightarrow M=\left(xy+\frac{1}{xy}\right)^2\ge\left(\frac{1}{2}+\frac{15}{4}\right)^2=\left(\frac{17}{4}\right)^2=\frac{289}{16}\)

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)

29 tháng 11 2019

Đặt \(A=\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)\)

\(=y^2\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)+\frac{1}{x^2}\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\)

\(=x^2y^2+1+1+\frac{1}{x^2y^2}\)

\(=x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}+2\)

\(=2+\left(x^2y^2+\frac{1}{256x^2y^2}\right)+\frac{255}{256x^2y^2}\)

Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số không âm:

\(x^2y^2+\frac{1}{256x^2y^2}\ge2\sqrt{\frac{x^2y^2}{256x^2y^2}}=\frac{1}{8}\)

C/m bđt phụ : \(1=\left(x+y\right)^2\ge4xy\)

\(\Rightarrow16x^2y^2\le1\Leftrightarrow256x^2y^2\le16\Leftrightarrow\frac{255}{256x^2y^2}\ge\frac{255}{16}\)

\(\Rightarrow A\ge2+\frac{1}{8}+\frac{255}{16}=\frac{289}{16}\)

(Dấu "="\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2y^2=\frac{1}{256x^2y^2}\\x-y=0\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\))

22 tháng 3 2017

\(M=x^2+y^2+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+4\)

\(M=\left(1-2xy\right)+\dfrac{1-2xy}{\left(xy\right)^2}+4=\dfrac{1}{\left(xy\right)^2}-\dfrac{2}{xy}-2xy+5\\ \)đặt 1/xy= t \(\left(x+y\right)=1\Rightarrow xy\le\dfrac{1}{4}\Rightarrow t\ge4\)

\(M=t^2-2t-\dfrac{2}{t}+5\)

khi t > 1 hiển nhiên M luôn tăng khi t tăng => \(Mmin=M\left(4\right)=4.4-2.4-\dfrac{2}{4}+5=\dfrac{25}{2}\)

Đẳng thức khi t=4 => xy=1/4 => x=y=1/2