Cho x,y,z thỏa mãn : ( Với a,b,c > 0 )
a = by + cz
b = ax + cz
c = ax + by
Cmr : 1/1+x + 1/1+y + 1/1+z không phụ thuộc vào a,b,c
( Caccau yw lại zups tớ tipp nhaaaa )
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có ax + by = c ; by + cz = a
<=> cz - ax = a - c (1)
mà cz + ax = b (2)
Từ (1) và (2) => \(cz=\frac{a-c+b}{2}\Rightarrow z=\frac{a-c+b}{2c}\Rightarrow z+1=\frac{a+b+c}{2c}\)
=> \(\frac{1}{z+1}=\frac{2c}{a+b+c}\)
Tương tự ta có \(\frac{1}{x+1}=\frac{2a}{a+b+c}\); \(\frac{1}{y+1}=\frac{2b}{a+b+c}\)
=> P = \(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}=\frac{2a}{a+b+c}+\frac{2b}{a+b+c}+\frac{2c}{a+b+c}=2\)
Cộng vế với vế của ba đẳng thức ta đc :
\(x+y+z=2\left(ax+by+cz\right)\Rightarrow ax+by+cz=\frac{x+y+z}{2}\) (*)
Lấy (*) - (1) ta có : \(ax+by+cz-\left(by+cz\right)=\frac{x+y+z}{2}-x\)
<=> \(ax=\frac{y+z-x}{2}\Leftrightarrow a=\frac{y+z-x}{2x}\Rightarrow a+1=\frac{y+z-x}{2x}+1=\frac{x+y+z}{2x}\)
=> \(\frac{1}{a+1}=\frac{2x}{x+y+z}\)
CMTT với 1/b+1 và 1/c+1
=> ĐPCM
cái này là bđt bunhia thì fai bn mở sách ra tham khảo đi
Có \(x=by+cz\)
=> \(x\left(1+a\right)=ax+x=ax+by+cz\)
=> \(\frac{1}{1+a}=\frac{x}{ax+by+cz}\)
=> \(\frac{a}{1+a}=\frac{ax}{ax+by+cz}\)
Có \(y=cz+ax\)
=> \(y\left(1+b\right)=by+y=by+cz+ax=ax+by+cz\)
=> \(\frac{1}{1+b}=\frac{y}{ax+by+cz}\)
=> \(\frac{b}{1+b}=\frac{by}{ax+by+cz}\)
Có \(z=ax+by\)
=> \(z\left(1+c\right)=cz+z=cz+ax+by=ax+by+cz\)
=> \(\frac{1}{1+c}=\frac{z}{ax+by+cz}\)
=> \(\frac{c}{1+c}=\frac{cz}{ax+by+cz}\)
=> \(M=\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}=\frac{ax}{ax+by+cz}+\frac{by}{ax+by+cz}+\frac{cz}{ax+by+cz}\)
\(=\frac{ax+by+cz}{ax+by+cz}=1\)
Vậy giá trị của M là 1
Với a, b, c khác -1 thì x + y + z khác 0.
Từ đề bài ta có: y + z = ax + cz + ax + by
<=> 2ax = y + z - x
--> a = (y + z - x)/(2x) --> a + 1 = (x + y + z)/(2x)
--> 1/(1 + a) = 2x/(x + y + z)
tương tự: 1/(1 + b) = 2y/(x + y + z)
1/(1 + c) = 2z/(x + y + z)
--> 1/(1 + a) + 1/(1 + b) + 1/(1 + c) = (2x + 2y + 2z)/(x + y + z) = 2
vậy giá trị của biểu thức A= 2
vì a=by+cz => by=a-cz
mà c=ax+by => by=c-ax
=>a-cz=c-ax (=by)
=> a+ax=c+cz
=> a(x+1)=c(z+1)
tương tự với c=ax+by và b=ax+cz
=> c(z+1)=b(y+1)
=> a(x+1)=b(y+1)=c(z+1)
đặt a(x+1)=b(y+1)=c(z+1)=k
=> 3k=a(x+1)+b(y+1)+c(z+1)
ta có
\(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{1+z}=\frac{a}{a\left(x+1\right)}+\frac{b}{b\left(y+1\right)}+\frac{c}{c\left(z+1\right)}=\frac{a}{k}+\frac{b}{k}+\frac{c}{k}=\frac{a+b+c}{k}\)
\(\frac{3\left(a+b+c\right)}{3k}=\frac{3\left(a+b+c\right)}{\text{ }a\left(x+1\right)+b\left(y+1\right)+c\left(z+1\right)}=\frac{3\left(a+b+c\right)}{ax+a+by+b+cz+c}\)
\(=\frac{3\left(a+b+c\right)}{\left(a+b+c\right)+\left(ax+by+cz\right)}=\frac{3\left(a+b+c\right)}{\left(a+b+c\right)+\frac{1}{2}\left[\left(ax+by\right)+\left(by+cz\right)+\left(cz+ax\right)\right]}\)
ta thấy a+b+c= (ax+by)+(by+cz)+(cz+ax)
\(\Rightarrow\frac{3\left(a+b+c\right)}{\left(a+b+c\right)+\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)}=\frac{3\left(a+b+c\right)}{\frac{3}{2}\left(a+b+c\right)}=\frac{3}{\frac{3}{2}}=2\)
vậy \(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\)ko phụ thuộc vào a,b,c