Question

[Nguyễn Dân Lập]

Cho hai hàm số y=\(\frac{x}{x+1}+\frac{X+1}{X+2}+\frac{X+2}{X+3}\)và y=\(\left|x+1\right|-x+m\)có đồ thị C1 C2 Tập hợp mđể m cắt C1 C2 tại 3 điểm phân biệt

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

Hic hic nhìn cái đề muốn nản

\(\left(C_1\right)\) : \(y=3-\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+3}\)

Xét \(\left(C_2\right)\):

- Với \(x>-1\Rightarrow y=m+1\)

Phương trình hoành độ giao điểm:

\(3-\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+3}=m+1\)

\(\Leftrightarrow f\left(x\right)=2-\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+3}=m\)

\(f'\left(x\right)=\frac{1}{\left(x+1\right)^2}+\frac{1}{\left(x+2\right)^2}+\frac{1}{\left(x+3\right)^2}>0\Rightarrow f\left(x\right)\) đồng biến

\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}=2\Rightarrow f\left(x\right)< 2\) \(\forall x>-1\)

Hơn nữa hàm \(f\left(x\right)\) liên tục, xác định khi \(x>-1\)

\(\Rightarrow y=m\) cắt \(y=f\left(x\right)\) tại 1 điểm với \(m< 2\), \(y=m\) không cắt \(y=f\left(x\right)\) với \(m\ge2\) (1)

- Với \(x\le-1\) \(\Rightarrow\left(C_2\right):y=-2x-1+m\)

Phương trình hoành độ giao điểm:

\(g\left(x\right)=4-\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+3}+2x=m\)

\(\Rightarrow g'\left(x\right)=\frac{1}{\left(x+1\right)^2}+\frac{1}{\left(x+2\right)^2}+\frac{1}{\left(x+3\right)^2}+2>0\)

\(\Rightarrow g\left(x\right)\) đồng biến trên từng khoảng xác định

Ta có BBT của \(g\left(x\right)\) như sau:

\(\Rightarrow y=m\) luôn cắt \(y=g\left(x\right)\) tại 3 điểm phân biệt (2)

Từ (1) và (2) ta có kết luận:

- Với \(m< 2\) thì \(\left(C_1\right)\) và \(\left(C_2\right)\) cắt nhau tại 4 điểm phân biệt

- Với \(m\ge2\) thì \(\left(C_1\right)\) và \(\left(C_2\right)\) cắt nhau tại 3 điểm phân biệt