Question

[tth_new]

@Cool kid:S*O*S dao lam có thể hiểu đơn giản như vầy:

Đối với BĐT hoán vị với 3 biến (đối xứng càng tốt:v)

Ta sẽ tìm cách biểu diễn \(f\left(x;y;z\right)=f_1\left(x;y;z\right)\left(x-y\right)\left(x-z\right)+f_2\left(x;y;z\right)\left(y-z\right)^2\)

Hoặc \(f\left(x;y;z\right)=-f_3\left(x;y;z\right)\left(x-y\right)\left(x-z\right)+f_4\left(x;y;z\right)\left(y+z-2x\right)^2\)

Với   \(f_1\left(x;y;z\right)\text{và }f_3\left(x;y;z\right)\ge0\)

Vẫn còn rất mơ hồ đúng không? OK vào ví dụ:

Chúng ta có: \(F\left(x;y;z\right)=x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=\left(x-y\right)\left(x-z\right)+\left(y-z\right)^2\) (nhận ra f₁ (x;y;z) là gì rồi chứ:D)

Suy ra \(3.F\left(x;y;z\right)=3\left(x-y\right)\left(x-z\right)+3\left(y-z\right)^2\) (đọc xuống phía dưới bạn sẽ hiểu tại sao mình nhân 3) (1)

Và \(F\left(x;y;z\right)=x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=-3\left(x-y\right)\left(x-z\right)+\left(y+z-2x\right)^2\) (2) 

OK bây giờ cộng theo vế (1) và (2) sẽ suy ra \(4.F\left(x;y;z\right)=3\left(y-z\right)^2+\left(y+z-2x\right)^2\)

Rồi chia cho 4 suy ra F(x;y;z). Ta đã biểu diễn được nó dưới dạng tổng 2 bình phương.

Lưu ý: :Bên trên chỉ là một cách đơn giản, còn nhiều kiểu biễn diễn khác rất hay nữa;)Nhưng mình nghĩ BĐT hoán vị, đối xứng thì dùng cách trên là được rồi:D

Nói thêm: Theo mình được biết thì cách này dùng cho BĐT có điểm rơi tại x = y = z. Còn trường hợp khác mình chưa có hướng làm tổng quát.

Answer 1

[tth_new]

Ngoài ra đây cũng là một dạng của nó: Câu hỏi của titanic - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath (chắc hẵn có bạn thắc mắc tại sao mình phân tích "tài tình" như thế) . Bây giờ mình giải thích:

Khi quy đồng lên: \(VT-VP=\frac{ab^2+bc^2+ca^2-3abc}{abc}\)

Đặt cái tử số = f(a;b;c). Ta sẽ biểu diễn nó dưới dạng sos dao lam:

Ta tìm được 2 các biểu diễn:

\(f\left(a;b;c\right)=b\left(a-b\right)^2-\left(b-c\right)\left(a^2+b^2+bc-3ab\right)\)

\(f\left(a;b;c\right)=c\left(a+b-2c\right)^2+\left(b-c\right)\left(c-a\right)\left(4c-b\right)\)

Từ 2 cái trên ta tiến hành nhân chia các kiểu và tìm được:

\(f\left(a;b;c\right)=\frac{b\left(c-a\right)\left(4c-b\right)\left(a-b\right)^2+c\left(a^2+b^2+bc-3ab\right)\left(a+b-2c\right)^2}{\left(c-a\right)\left(4c-b\right)+\left(a^2+b^2+bc-3ab\right)}\)

Từ đó dẫn đến cách làm ở bài trên.

Answer 2

[tth_new]

Theo mình, với trình độ THCS thì việc tìm ra 2 cách biểu diễn trên là khá khó khăn (mất nhiều thời gian, nhất là khi không sử dụng Wolfram|Alpha: Computational Intelligence để phân tích thành nhân tử). Theo ý kiến chủ quan, thì đó chính là nhược điểm của phương pháp này.

Tuy nhiên nó lại hay ở chỗ: Không bị cứng nhắc về cách biểu diễn, mình có thể biểu diễn dưới dạng tổng 2 bình phương or các kiểu tương tự bên dưới:v trong khi đó SOS thông thường cần tới 3 bình phương or các kiểu tổng quát như: \(S_a\left(b-c\right)^2+S_b\left(c-a\right)^2+S_c\left(a-b\right)^2\ge0\)