cho a,b>0 tm: a^3+b^3=a-b . CMR : a^2+b^2<1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
17 tháng 12 2023
Ta có \(\dfrac{1}{a^3\left(b+c\right)}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{b^3c^3}\left(b+c\right)}=\dfrac{b^2c^2}{\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}}\)
Tương tự \(\Rightarrow VT=\dfrac{b^2c^2}{\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}}+\dfrac{c^2a^2}{\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}}+\dfrac{a^2b^2}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}\)
\(\ge\dfrac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{2\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)}\) (BĐT B.C.S)
\(=\dfrac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{2\left(\dfrac{ab+bc+ca}{abc}\right)}\)
\(=\dfrac{ab+bc+ca}{2}\) (do \(abc=1\))
\(\ge\dfrac{3\sqrt[3]{abbcca}}{2}\)
\(=\dfrac{3\left(\sqrt[3]{abc}\right)^2}{2}=\dfrac{3}{2}\) (do \(abc=1\))
ĐTXR \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
L
1
VT
20 tháng 11 2017
đặt A=...
Áp dúng bất đẳng thức bu nhi a ta có
\(A^2\le3\left(1+a^2+2bc+1+b^2+2ac+1+c^2+2ab\right)=3\left[\left(a+b+c\right)^2+3\right]\)
=> \(A^2\le36\Rightarrow A\le6\) (ĐPCM)
dấu = xảy ra <=> a=b=c=1
KN
10 tháng 8 2020
\(\frac{1}{2-a}+\frac{1}{2-b}+\frac{1}{2-c}\ge3\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(2-b\right)\left(2-c\right)+\left(2-c\right)\left(2-a\right)+\left(2-a\right)\left(2-b\right)}{\left(2-a\right)\left(2-b\right)\left(2-c\right)}\ge3\)\(\Leftrightarrow\frac{4-2b-2c+bc+4-2c-2a+ca+4-2a-2b+ab}{\left(4-2a-2b+ab\right)\left(2-c\right)}\ge3\)\(\Leftrightarrow\frac{12-4\left(a+b+c\right)+\left(ab+bc+ca\right)}{8-4\left(a+b+c\right)+2\left(ab+bc+ca\right)-abc}\ge3\)
\(\Leftrightarrow12-4\left(a+b+c\right)+\left(ab+bc+ca\right)\ge\) \(24-12\left(a+b+c\right)+6\left(ab+bc+ca\right)-3abc\)
\(\Leftrightarrow8\left(a+b+c\right)+3abc\ge12+5\left(ab+bc+ca\right)\)
Đặt \(a+b+c=p;ab+bc+ca=q;abc=r\)thì giả thiết trở thành \(p^2-2q=3\)hay \(4q-p^2=2q-3\)
và ta cần chứng minh \(8p+3r\ge12+5q\)
Theo Schur, ta có: \(r\ge\frac{p\left(4q-p^2\right)}{9}\)hay \(3r\ge\frac{p\left(4q-p^2\right)}{3}=\frac{p\left(2q-3\right)}{3}\)(*)
Có \(p^2-2q=3\Rightarrow q=\frac{p^2-3}{2}\)(**)
Sử dụng hai điều kiện (*) và (**) ta đưa điều phải chứng minh về dạng \(8p+\frac{p\left(p^2-6\right)}{3}\ge12+\frac{5\left(p^2-3\right)}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left(2p-3\right)\left(p-3\right)^2\ge0\)*đúng*
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
\(a-b=a^3+b^3\Rightarrow a-b>0\)
Ta có:\(a^3+b^3>a^3-b^3\)
\(\Rightarrow a-b>a^3-b^3\)
\(\Rightarrow a-b>\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)\)
\(\Rightarrow a^2+ab+b^2< 1\Rightarrow a^2+b^2< 1\) vì \(ab>0\)