Question

[Trần Vân Anh]

1. Cho \(x+y+z=3\)

a) Tìm GTNN của \(C=x^2+y^2+z^2\)

b) Tìm GTLN của \(D=xy+yz+zx\)

2. Cho \(a>0\), \(b>0\), \(c>0\)và \(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{2}{b}\). Tìm GTNN của \(E=\frac{a+b}{2a-b}+\frac{c+b}{2c-b}\)

3. Cho \(P=x^2+y^2+2z^2+t^2\)với \(x\), \(y\), \(z\)là số nguyên không âm. Tìm GTNN của P và các giá trị tương ứng của \(x\), \(y\), \(z\), \(t\)biết:

\(x^2-y^2+t^2=21\)

\(x^2+3y^2+4z^2=101\)

Answer 1

[Kiệt Nguyễn]

Ta có: \(\left(x-y\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\Rightarrow x^2+y^2\ge2xy\)

Tương tự: \(y^2+z^2\ge2yz\); \(x^2+z^2\ge2xz\)

Cộng từng vế của các BDDT trên:

\(2\left(xz+yz+xy\right)\le2\left(x^2+y^2+z^2\right)\)

\(\Leftrightarrow xy+yz+xz\le x^2+y^2+z^2\)

\(\Leftrightarrow3xy+3yz+3xz\le x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz\)

\(\Leftrightarrow3xy+3yz+3xz\le\left(x+y+z\right)^2\)

\(\Leftrightarrow3xy+3yz+3xz\le3^2=9\)

\(\Leftrightarrow xy+yz+xz\le3\)

Vậy \(D_{max}=3\Leftrightarrow x=y=z\)

Answer 2

[Kiệt Nguyễn]

Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz:

\(\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(1+1+1\right)\)

\(=\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(1^2+1^2+1^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\)

\(\Rightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge3^2=9\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge3\)

Vậy \(C_{min}=3\Leftrightarrow x=y=z=1\)