Question

[nguyễn văn du]

cmr 

A=\(n^3+\left(n+1\right)^3+\left(n+2\right)^3\)chia hết cho 9 với mọi n là só nguyên

Answer 1

[Vũ Tiến Manh]

áp dụng hằng đẳng thức \(a^3+b^3+c^3=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\right)+3abc\)

=> A= (n+n+1+n+2)[n² +(n+1)² +(n+2)² -n(n+1)-n(n+2)- (n+1)(n+2)] +3n(n+1)(n+2)

= (3n+3).3 +3n(n+1)(n+2) = 9n(n+1) + 3n(n+1)(n+2)

n(n+1)(n+2) là 3 số nguyên liên tiếp nên luôn tồn tại một số chia hết cho 3 => 3n(n+1)(n+2) chia hết cho 9

9n(n+10 chia hết cho 9

=> A chia hết cho 9

Answer 2

[Nguyễn Mai Hương]

Xét hằng đẳng thức sau đây: x³ + y³ + z³ - 3xyz

<=> ( x + y )³ - 3xy( x + y ) + z³ - 3xyz

<=> [ ( x + y )³ + z^{3  ]} - 3x²y - 3xy² - 3xyz

<=> ( x + y + z )[ ( x + y )² - ( x + y )z + z^{2 ]} - 3xy ( x + y + z ) 

<=> ( x + y + z )( x² + 2xy + y² - zx - zy + z² ) - 3xy ( x + y + z ) 

<=> ( x + y + z )( x² + y² - xy - zx - zy + z² ) 

<=> x³ + y³ + z³ = ( x + y + z )( x² + y² - xy - zx - zy + z² )  + 3xyz

Áp dụng hằng đẳng thức trên, ta có:

( n + n+ 1 + n + 2 )[  n² + (n + 1 )² - n( n+ 1 ) - (n+2)n - ( n + 1 )( n +2 ) + (n+2)^{2 ]} + 3n( n + 1 )( n + 2 )

<=> ( 3n + 3 )( n² + n²  + 2n + 1 - n² - n - n² - 2n - n² - 2n - n - 2 + n² + 4n +4 ) + 3n( n + 1 )( n + 2 )

<=> ( 3n + 3 )3 + 3n( n + 1 )( n + 2 )

<=> 9( n + 1 ) + 3n( n + 1 )( n + 2 )

Vì n( n + 1 )( n + 2 ) là 3 chữ số liên tiếp chia hết cho 6

=> 3n( n + 1 )( n + 2 ) = 3.6 = 18 chia hết cho 9

=> 9( n + 1 ) + 3n( n + 1 )( n + 2 ) chia hết cho 9

=> n³ + ( n + 1 )³ + ( n + 2 )³ chia hết cho 9 ( đpcm )