Cho $f\left(x\right)=x^3-3x$ a. Chứng minh rằng tồn tại các số thực a, b, c đôi một phân biệt sao cho $f\left(a\right)=b,f\left(b\right)=c,f\left(c\right)=a$ b. Giả sử tồn tại 3 bộ số thực \(\le...

PA

Phương An

14 tháng 10 2019

Cho $f\left(x\right)=x^3-3x$ a. Chứng minh rằng tồn tại các số thực a, b, c đôi một phân biệt sao cho $f\left(a\right)=b,f\left(b\right)=c,f\left(c\right)=a$ b. Giả sử tồn tại 3 bộ số thực $\left(a_i,b_i,c_i\right)$ với $i=\overline{1,3}$ gồm 9 số đôi một phân biệt sao cho $f\left(a_i\right)=b_i,f\left(b_i\right)=c_i,f\left(c_i\right)=a_i$ với $i=\overline{1,3}$. Đặt $S=a_i+b_i+c_i$ với $i=\overline{1,3}$, chứng minh rằng...

Đọc tiếp

#Toán lớp 12

0

LS

Lê Song Phương

CTVHS

19 tháng 8 2023

1. Cho đa thức $f\left(x\right)=x^3-3x^2+9x+1964$. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên $a$ sao cho $f\left(a\right)⋮3^{2014}$ 2. Chứng minh rằng với mọi $a\inℤ$, phương trình $x^4-2007x^3+\left(2006+a\right)x^2-2005x+a=0$ không thể có 2 nghiệm nguyên phân biệt. 3. Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao...

Đọc tiếp

#Toán lớp 11

0

B

BHQV

11 tháng 2 2023

Cho $f\left(x\right)=ax^2+bx+c$ (a ,b,c là các số thực )

a) Biết 10a+2b-5c=0 . Chứng minh$f\left(-1\right).f\left(-4\right)\ge0$

b) Biết 13a + b + 2c=0 . Chứng minh $f\left(-2\right).f\left(3\right)\le0$

#Toán lớp 7

2

AH

Akai Haruma

Giáo viên

12 tháng 2 2023

Lời giải:
a.

$f(-1)=a-b+c$

$f(-4)=16a-4b+c$

$\Rightarrow f(-4)-6f(-1)=16a-4b+c-6(a-b+c)=10a+2b-5c=0$

$\Rightarrow f(-4)=6f(-1)$

$\Rightarrow f(-1)f(-4)=f(-1).6f(-1)=6[f(-1)]^2\geq 0$ (đpcm)

b.

$f(-2)=4a-2b+c$

$f(3)=9a+3b+c$

$\Rightarrow f(-2)+f(3)=13a+b+2c=0$

$\Rightarrow f(-2)=-f(3)$

$\Rightarrow f(-2)f(3)=-[f(3)]^2\leq 0$ (đpcm)

Đúng(2)

TD

Trần Đức Vinh

2 tháng 3 2023

a.

�
(
−
1
)
=
�
−
�
+
�
f(−1)=a−b+c

�
(
−
4
)
=
16
�
−
4
�
+
�
f(−4)=16a−4b+c

⇒
�
(
−
4
)
−
6
�
(
−
1
)
=
16
�
−
4
�
+
�
−
6
(
�
−
�
+
�
)
=
10
�
+
2
�
−
5
�
=
0
⇒f(−4)−6f(−1)=16a−4b+c−6(a−b+c)=10a+2b−5c=0

⇒
�
(
−
4
)
=
6
�
(
−
1
)
⇒f(−4)=6f(−1)

⇒
�
(
−
1
)
�
(
−
4
)
=
�
(
−
1
)
.
6
�
(
−
1
)
=
6
[
�
(
−
1
)
]
2
≥
0
⇒f(−1)f(−4)=f(−1).6f(−1)=6[f(−1)]
2
≥0 (đpcm)

b.

�
(
−
2
)
=
4
�
−
2
�
+
�
f(−2)=4a−2b+c

�
(
3
)
=
9
�
+
3
�
+
�
f(3)=9a+3b+c

⇒
�
(
−
2
)
+
�
(
3
)
=
13
�
+
�
+
2
�
=
0
⇒f(−2)+f(3)=13a+b+2c=0

⇒
�
(
−
2
)
=
−
�
(
3
)
⇒f(−2)=−f(3)

⇒
�
(
−
2
)
�
(
3
)
=
−
[
�
(
3
)
]
2
≤
0
⇒f(−2)f(3)=−[f(3)]
2
≤0 (đpcm

Đúng(0)

TM

Tô Mì

15 tháng 4 2023

Cho tam thức bậc hai $f\left(x\right)=x^2+bx+c$. Giả sử phương trình $f\left(x\right)=x$ có $2$ nghiệm phân biệt. Chứng minh rằng nếu $\left(b+1\right)^24\left(b+c+1\right)$ thì phương trình $f\left(f\left(x\right)\right)=x$ có $4$ nghiệm phân...

Đọc tiếp

#Toán lớp 9

0

I

ILoveMath

31 tháng 7 2021

CMR:a) $\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)⋮2$ với a, b, c nguyên đôi 1 phân biệtb) trong 5 số nguyên bất kì phân biệt tồn tại tổng 3 số chia hết cho 3c) $\left(x-y\right)^5+\left(y-z\right)^5+\left(z-x\right)^5⋮5\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)$ với x, y, z nguyên đôi 1 phân...

Đọc tiếp

#Toán lớp 8

0

BD

Bùi Đức Huy Hoàng

25 tháng 3 2022

Cho đa thức $f\left(x\right)=x^2+mx+n$ với $m,n\in Z$. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên k để $f\left(k\right)=f\left(2021\right).f\left(2022\right)$

#Toán lớp 9

1

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

25 tháng 3 2022

Xét $f\left[f\left(x\right)+x\right]=\left[f\left(x\right)+x\right]^2+m\left[f\left(x\right)+x\right]+n$

$=\left(x^2+mx+n+x\right)^2+m\left(x^2+mx+n+x\right)+n$

$=\left(x^2+mx+n\right)^2+2x\left(x^2+mx+n\right)+x^2+m\left(x^2+mx+n\right)+mx+n$

$=\left(x^2+mx+n\right)^2+2x\left(x^2+mx+n\right)+m\left(x^2+mx+n\right)+\left(x^2+mx+n\right)$

$=\left(x^2+mx+n\right)\left(x^2+mx+n+2x+m+1\right)$

$=\left(x^2+mx+n\right)\left[\left(x+1\right)^2+m\left(x+1\right)+n\right]$

$=f\left(x\right).f\left(x+1\right)$

Thay $x=2021$

$\Rightarrow f\left[f\left(2021\right)+2021\right]=f\left(2021\right).f\left(2022\right)$

Đặt $f\left(2021\right)+2021=k$

Do $f\left(x\right)$ có hệ số m;n nguyên $\Rightarrow k$ nguyên

$\Rightarrow f\left(k\right)=f\left(2021\right).f\left(2022\right)$ với k nguyên

Hay tồn tại số nguyên k thỏa mãn yêu cầu

Đúng(1)

NC

Ngô Chi Lan

22 tháng 11 2018

Cho hàm số y=f(x)=2018x. Chứng minh rằng với mọi a,b là số thực thì ta có:

$f\left(a\right)+f\left(b\right)=f\left(a+b\right)$

#Toán lớp 7

1

X

xinchao

22 tháng 11 2018

f(x) = 2018x

Ta có : f(a) = 2018a ; f(b) = 2018b

=> f(a) + f(b) = 2018a + 2018b (1)

Ta có : f(a+b) = 2018(a+b) = 2018a + 2018b (2)

Từ (1) và (2) => đpcm

Đúng(0)

BC

Big City Boy

28 tháng 2 2021

Cho đa thức f(x) với hệ số nguyên. a) Chứng minh với 2 số nguyên phân biệt a và b thì $f\left(a\right)-f\left(b\right)⋮\left(a-b\right)$

#Toán lớp 8

1

E

Eren

28 tháng 2 2021

Giả sử f(x) = c₀ + c₁x + ... + c_nxⁿvới c₀, c₁, ..., c_n là các số nguyên

f(a) - f(b) = (c_n.aⁿ + ... + c₁.a + c₀) - (c_n.bⁿ + ... + c₁.b + c₀)

= c_n(aⁿ - bⁿ) + ... + c₁(a - b) + (c₀ - c₀)

= c_n(a - b)(a^n-1 + a^n-2b + ... + b^n-1) + ... + c₁(a - b)

= (a - b)(...) ⋮ (a - b)

Vậy bài toán đã được chứng minh

Đúng(2)

QP

Quách Phương

24 tháng 2 2021

Cho a,b,c là các số thực và $a\ne0$. Chứng minh rằng nếu đa thức $f\left(x\right)=a\left(ax^2+bx+c\right)^2+b\left(ax^2+bx+c\right)+c$ vô nghiệm thì phương trình $g\left(x\right)=ax^2+bx-c$ có hai nghiệm trái dấu

#Toán lớp 10

1

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

25 tháng 2 2021

Với $c=0\Rightarrow f\left(x\right)=0$ có nghiệm $x=0$ (loại)

TH1: $a;c$ trái dấu

Xét pt $f\left(x\right)=0\Leftrightarrow a\left(ax^2+bx+c\right)^2+b\left(ax^2+bx+c\right)+c=0$

Đặt $ax^2+bx+c=t$ $\Rightarrow at^2+bt+c=0$ (1)

Do a; c trái dấu $\Leftrightarrow$ (1) luôn có 2 nghiệm trái dấu.

Không mất tính tổng quát, giả sử $t_1< 0< t_2$

$\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}ax^2+bx+c=t_1\\ax^2+bx+c=t_2\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}ax^2+bx+c-t_1=0\left(2\right)\\ax^2+bx+c-t_2=0\left(3\right)\end{matrix}\right.$

Mà a; c trái dấu nên:

- Nếu $a>0\Rightarrow c< 0\Rightarrow c-t_2< 0\Rightarrow a\left(c-t_2\right)< 0$

$\Rightarrow$ (3) có nghiệm hay $f\left(x\right)=0$ có nghiệm (loại)

- Nếu $a< 0\Rightarrow c>0\Rightarrow c-t_1>0\Rightarrow a\left(c-t_1\right)< 0$

$\Rightarrow\left(2\right)$ có nghiệm hay $f\left(x\right)=0$ có nghiệm (loại)

Vậy đa thức $f\left(x\right)$ luôn có nghiệm khi a; c trái dấu

$\Rightarrow$Để $f\left(x\right)=0$ vô nghiệm thì điều kiện cần là $a;c$ cùng dấu $\Leftrightarrow ac>0$

Khi đó xét $g\left(x\right)=0$ có $a.\left(-c\right)< 0\Rightarrow g\left(x\right)=0$ luôn có 2 nghiệm trái dấu (đpcm)

Đúng(0)

NB

Nhok baka

16 tháng 5 2018

Cho đa thức $f\left(x\right)=ax^3+2bx^2+3cx+4d$ với các hệ số a, b, c, d là số nguyên. CMR không thể đồng thời tồn tại $f\left(7\right)=73$ và $f\left(3\right)=58$

#Toán lớp 7

1

TL

Thùy Linh

16 tháng 5 2018

: Giả sử tồn tại đồng thời f(7) = 73 và f(3) = 58 :
=> f(7) = a.7^3 + b.7^2 + c.7 + d = 343a + 49b + 7c + d
f(3) = a.3^3 + b.3^2 + c.3 + d = 27a + 9b + 3c + d
=> f(7) + f(3) = 343a + 27a + 49b + 9b + 7c + 3c + d + d
=> f(7) + f(3) = 370a + 58b + 10c + 2d ⋮ 2 (vì a, b, c, d là các số nguyên)
=> f(7) + f(3) ⋮ 2
Nhưng theo giả thiết thì f(7) + f(3) = 73 + 58 = 131 không chia hết cho 2.
=> giả thiết nêu ra là vô lý.
Vậy với f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d (a, b, c, d là các số nguyên) thì không thể tồn tại f(7) = 73 và f(3) = 58.

Đúng(0)

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP