Cho (x+y)(x+z) + (y+z)(y+x) = 2(z+x)(z+y) . CMR: \(z^2=\frac{x^2+y^2}{2}\) !?!?
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
16 tháng 8 2019
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy :
\(\frac{x^4}{y^2\left(x+z\right)}+\frac{y^2}{2x}+\frac{x+z}{4}\ge3\sqrt[3]{\frac{x^4\cdot y^2\cdot\left(x+z\right)}{y^2\cdot\left(x+z\right)\cdot2x\cdot4}}=3\sqrt[3]{\frac{x^3}{8}}=\frac{3x}{2}\)
Tương tự ta cũng có :
\(\frac{y^4}{z^2\left(x+y\right)}+\frac{z^2}{2y}+\frac{x+y}{4}\ge\frac{3y}{2}\)
\(\frac{z^4}{x^2\left(y+z\right)}+\frac{x^2}{2z}+\frac{y+z}{4}\ge\frac{3z}{2}\)
Cộng theo vế ta được :
\(VT+\left(\frac{y^2}{2x}+\frac{z^2}{2y}+\frac{x^2}{2z}\right)+\frac{2\left(x+y+z\right)}{4}\ge\frac{3x}{2}+\frac{3y}{2}+\frac{3z}{2}\)
\(\Leftrightarrow VT+\frac{1}{2}\left(\frac{y^2}{x}+\frac{z^2}{y}+\frac{x^2}{z}\right)+\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\ge\frac{3}{2}\left(x+y+z\right)\)
\(\Leftrightarrow VT+\frac{1}{2}\cdot\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z}+\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\ge\frac{3}{2}\left(x+y+z\right)\)
\(\Leftrightarrow VT+\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)+\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\ge\frac{3}{2}\left(x+y+z\right)\)
\(\Leftrightarrow VT\ge\frac{x+y+z}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z\)
9 tháng 10 2020
\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{y+z}-\frac{z^2}{y+z}+\frac{z^2}{x+y}-\frac{y^2}{x+y}+\frac{y^2}{x+z}-\frac{x^2}{x+z}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{x^2}{y+z}-\frac{x^2}{x+z}\right)+\left(\frac{y^2}{x+z}-\frac{y^2}{x+y}\right)+\left(\frac{z^2}{x+y}-\frac{z^2}{y+z}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2\left(\frac{1}{y+z}-\frac{1}{x+z}\right)+y^2\left(\frac{1}{x+z}-\frac{1}{x+y}\right)+z^2\left(\frac{1}{x+y}-\frac{1}{y+z}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2\left(\frac{x-y}{\left(y+z\right)\left(x+z\right)}\right)+y^2\left(\frac{y-z}{\left(x+z\right)\left(x+y\right)}\right)+z^2\left(\frac{z-x}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2\left(x-y\right)\left(x+y\right)+y^2\left(y-z\right)\left(y+z\right)+z^2\left(z-x\right)\left(z+x\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2\left(x^2-y^2\right)+y^2\left(y^2-z^2\right)+z^2\left(z^2-x^2\right)\ge0\)
\(x^4-x^2y^2+y^4-y^2z^2+z^4-z^2x^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow2x^4-2x^2y^2+2y^4-2y^2z^2+2z^4-2z^2x^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^4-2x^2y^2+y^4\right)+\left(y^4-2y^2z^2+z^4\right)+\left(z^4-2z^2x^2+x^4\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-y^2\right)^2+\left(y^2-z^2\right)^2+\left(z^2-x^2\right)^2\ge0\)(đúng)
24 tháng 11 2018
Bạn có thể sử dụng BĐT thức Cô-si và xét trường hợp dấu bằng xảy ra nhé bạn !
5 tháng 4 2020
Câu hỏi của Trần Ngọc Tú - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
AH
Akai Haruma
Giáo viên
16 tháng 8 2019
Lời giải:
Xét hiệu:
\(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2}-\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)=\frac{1}{2}\left[\left(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2}\right)+\left(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2}\right)-2\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)\right]\)
\(\ge \frac{1}{2}\left[\left(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2}\right)+3\sqrt[3]{\frac{x^2}{y^2}.\frac{y^2}{z^2}.\frac{z^2}{x^2}}-2\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)\right]\)
\(=\frac{1}{2}\left[\left(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2}\right)+3-2\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)\right]\)
\(=\frac{1}{2}\left[(\frac{x}{y}-1)^2+(\frac{y}{z}-1)^2+(\frac{z}{x}-1)^2\right]\geq 0\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2}\geq \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z$
AH
Akai Haruma
Giáo viên
25 tháng 10 2017
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\text{VT}=\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}=\frac{\left(\frac{x}{y}\right)^2}{\frac{1}{y}}+\frac{\left(\frac{y}{z}\right)^2}{\frac{1}{z}}+\frac{\left(\frac{z}{x}\right)^2}{\frac{1}{x}}\geq \frac{\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)^2}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}\)
Giờ ta cần chỉ ra \(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\geq \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)
Thật vậy, do $xyz=1$ nên tồn tại các số dương \(a,b,c\) sao cho:
\((x,y,z)=\left(\frac{a}{b};\frac{b}{c};\frac{c}{a}\right)\)
Bài toán tương đương với
\(\frac{ab}{c^2}+\frac{bc}{a^2}+\frac{ca}{b^2}\geq \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\Leftrightarrow (ab)^3+(bc)^3+(ca)^3\geq a^3bc^2+b^3ca^2+c^3ab^2\)
Áp dụng BĐT Am-Gm ta có:
\((ab)^3+(ab)^3+(bc)^3\geq 3b^3ca^2\)
Thực hiện tương tự và cộng theo vế, suy ra:
\(3[(ab)^3+(bc)^3+(ca)^3]\geq 3(a^3bc^2+b^3ca^2+c^3ab^2)\)
\(\Leftrightarrow (ab)^3+(bc)^3+(ca)^3\geq a^3bc^2+b^3ca^2+c^3ab^2\)
Do đó ta có đpcm.
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c\Leftrightarrow x=y=z=1\)
VT
29 tháng 5 2018
Ta có \(A=\frac{x^4}{x^3+x^2y+xy^2}+...\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^3+y^3+z^3+xy^2+yz^2+zx^2+x^2y+y^2z+z^2x}\)
=> \(A\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(x+y+z\right)}=\frac{x^2+y^2+z^2}{x+y+z}\ge\frac{x+y+z}{3}\left(ĐPCM\right)\)
dấu = xảy ra <=> x=y=z>=0
\(\Leftrightarrow x^2+2xz+2xy+2yz+y^2=2z^2+2yz+2xz+2zx\Leftrightarrow2z^2=x^2+y^2\Leftrightarrow z^2=\frac{x^2+y^2}{2}\)