Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn \(\frac{2b-c}{a}\ge4\). Chứng minh \(ax^2+bx+c=0\)luôn có nghiệm
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
17 tháng 2 2016
4c = -( a +2b)
\(\Delta=b^2-4ac=b^2+a\left(a+2b\right)=a^2+b^2+2ab=\left(a+b\right)^2\ge0\)
20 tháng 5 2021
Đặt \(f\left(x\right)=ax^{3\:}+bx^2+cx+d\left(a\ne0\right)\)
Nếu \(a< 0\) thì \(\left\{{}\begin{matrix}\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=+\infty\\\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=-\infty\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)\in\left(-\infty;+\infty\right)\), với \(x\in\left(-\infty;+\infty\right)\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)=0\) luôn có nghiệm
Nếu \(a>0\) thì \(\left\{{}\begin{matrix}\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=-\infty\\\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=+\infty\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)=0\) luôn có nghiệm
Với các số thực dương a, b, c ta có:
\(\frac{2b-c}{a}\ge4\Leftrightarrow2b-c\ge4a\Leftrightarrow b\ge\frac{4a+c}{2}\)
\(\Leftrightarrow b^2\ge\frac{16a^2+8ac+c^2}{4}\Leftrightarrow b^2-4ac\ge\frac{16a^2+c^2}{4}>0\)
=> phương trình \(ãx^2+bx+c=0\) luôn có nghiệm
+) Nếu \(ac\le0\Rightarrow\)Phương trình có nghiệm
+) Nếu ac > 0\(\Rightarrow\)a và c cùng dấu
Từ giả thiết suy ra \(\frac{2b}{a}\ge\frac{c}{a}+4>0\Rightarrow\)a và b cùng dấu
\(\Rightarrow\)a, b, c cùng dấu. Vì thế ta chỉ cần xét a, b và c cùng dương là đủ
Với a, b, c cùng dương ta có :
\(\frac{2b}{a}\ge\frac{c}{a}+4\Leftrightarrow b\ge\frac{c+4a}{2}\Leftrightarrow b^2\ge\frac{c^2+8ac+16a^2}{4}\)
\(\Leftrightarrow b^2-4ac\ge\frac{c^2-8ac+16a^2}{4}=\frac{\left(c-4a\right)^2}{4}\ge0\)
\(\Delta\ge0\)nên phương trình luôn có nghiệm
Vậy phương trình \(ax^2+bx+c=0\)luôn có nghiệm (đpcm)