Cho a, b, c là các số dương:
Chứng minh: \(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+a}+\frac{c}{c+b}\ge4\)
Help me !!
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
11 tháng 4 2020
Ta có : \(\left(x+y\right)^2\ge4xy\Rightarrow\frac{x+y}{xy}\ge\frac{4}{x+y}\)
\(\Rightarrow\frac{4}{x+y}\le\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)
Áp dụng ta có :
\(\frac{a}{b+c}=a.\frac{1}{b+c}\le a.\frac{1}{4}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\frac{1}{4}\left(\frac{a}{b}+\frac{a}{c}\right)\)
Tương tự :
\(\frac{b}{c+a}\le\frac{1}{4}\left(\frac{b}{c}+\frac{b}{a}\right)\)
\(\frac{c}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{c}{a}+\frac{c}{b}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{a}{b}+\frac{a}{c}\right)+\frac{1}{4}\left(\frac{b}{c}+\frac{b}{a}\right)+\frac{1}{4}\left(\frac{c}{a}+\frac{c}{b}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}\right)\)
\(\Rightarrow4\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)\le\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}\)
\(\Rightarrow4\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)\le\frac{a+c}{b}+\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}\)
\(\Rightarrow4\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)\le\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\)
Dấu = xảy ra khi a=b=c
12 tháng 4 2020
Áp dụng BĐT cô si ta có :
\(\frac{b+c}{a}\ge4.\frac{a}{b+c}\)
\(\frac{c+a}{b}\ge\frac{4b}{c+a}\)
\(\frac{a+b}{c}\ge\frac{ac}{a+b}\)
\(\Rightarrow\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c}\ge4.\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)\)
Dấu " = " xảy ra khi a= b = c
ND
Nguyễn Đăng Nhân
CTVHS
19 tháng 2 2022
Từ bất đẳng thức Cô si ta có:
\(4\left(ab+bc+ca\right)\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\le\left[\frac{ab+bc+ca}{ca}+ca\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\right]^2\)
\(\Rightarrow\)Ta cần chứng minh:
\(\frac{ab+bc+ca}{ca}+ca\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\le\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\)
Vì vai trò của a, b, c trong bất đẳng thức như nhau, nên không mất tính tổng quát ta giả sử \(a\ge b\ge c\)nên bất đẳng thức cuối cùng đùng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
3 tháng 8 2017
a)
Đặt \(A=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\)
\(\Rightarrow A=\frac{a^2}{ab+ac}+\frac{b^2}{ab+bc}+\frac{c^2}{ac+bc}\)
Áp dụng BĐT Schwarz , ta có :
\(A\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ac\right)}\) (1)
Mà \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ac+a^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\ge3\left(ab+bc+ac\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ac\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+bc+ac}\ge3\) (2)
Từ (1) và (2) , suy ra : \(A\ge\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
b)
\(\frac{\left(a+b\right)^2}{c}+\frac{\left(b+c\right)^2}{a}+\frac{\left(c+a\right)^2}{b}\ge\frac{\left[\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right]^2}{a+b+c}=4\left(a+b+c\right)\)
16 tháng 2 2021
Ta có: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{2}{b}\Leftrightarrow\frac{a+c}{ac}=\frac{2}{b}\Rightarrow b=\frac{2ac}{a+c}\)
Khi đó:
\(\frac{a+b}{2a-b}+\frac{c+b}{2c-b}=\frac{a+\frac{2ac}{a+c}}{2a-\frac{2ac}{a+c}}+\frac{c+\frac{2ac}{a+c}}{2c-\frac{2ac}{a+c}}\)
\(=\frac{a\left(a+c\right)+2ac}{2a\left(a+c\right)-2ac}+\frac{c\left(a+c\right)+2ac}{2c\left(a+c\right)-2ac}\)
\(=\frac{a^2+3ac}{2a^2}+\frac{c^2+3ac}{2c^2}=\frac{a^2}{2a^2}+\frac{3ac}{2a^2}+\frac{c^2}{2c^2}+\frac{3ac}{2c^2}\)
\(=\frac{1}{2}+\frac{3c}{2a}+\frac{1}{2}+\frac{3a}{2c}=1+\frac{3}{2}\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)\)
\(\ge1+\frac{3}{2}\cdot2\sqrt{\frac{a}{c}\cdot\frac{c}{a}}=1+3=4\) (Cauchy)
Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c\)