K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

26 tháng 7 2019

Ta có \(\frac{1}{a+b+1}=\left(1-\frac{1}{b+c+1}\right)+\left(1-\frac{1}{a+c+1}\right)=\frac{b+c}{b+c+1}+\frac{a+c}{a+c+1}\)

                                                                                                                   \(\ge2\sqrt{\frac{\left(b+c\right)\left(a+c\right)}{\left(b+c+1\right)\left(a+c+1\right)}}\)

Tương tự \(\frac{1}{b+c+1}\ge2\sqrt{\frac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{\left(a+b+1\right)\left(a+c+1\right)}}\)

                 \(\frac{1}{a+c+1}\ge2\sqrt{\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}{\left(a+b+1\right)\left(b+c+1\right)}}\)

Nhân 3 bđt trên ta có:

\(\frac{1}{\left(a+b+1\right)\left(b+c+1\right)\left(a+c+1\right)}\ge\frac{8\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)}{\left(a+b+1\right)\left(b+c+1\right)\left(a+c+1\right)}\)

=> \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\le\frac{1}{8}\)

MaxA=1/8 khi a=b=c=1/4

31 tháng 1 2019

Ta có : \(\frac{a}{\sqrt{bc\left(1+a^2\right)}}=\frac{a}{\sqrt{bc+a.abc}}=\frac{a}{\sqrt{bc+a\left(a+b+c\right)}}\)

                                                                               \(=\frac{a}{\sqrt{bc+a^2+ab+ac}}\)

                                                                                \(=\frac{a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\)

Áp dụng bđt Cô-si ngược ta có
\(\frac{a}{\sqrt{bc\left(1+a^2\right)}}=\frac{a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}\right)\)

C/m tương tự được \(\frac{b}{\sqrt{ca\left(1+b^2\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{b}{a+b}+\frac{b}{b+c}\right)\)

                                 \(\frac{c}{\sqrt{ab\left(1+c^2\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{c}{a+c}+\frac{c}{b+c}\right)\)

Cộng 3 vế của các bđt trên lại ta được

\(A\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{a+b}+\frac{a}{a+c}+\frac{c}{a+c}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{b+c}\right)\)

         \(=\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a+b+c=abc\\a=b=c\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}3a=a^3\\a=b=c\end{cases}}\)

                                                                          \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a^3-3a=0\\a=b=c\end{cases}}\)

                                                                       \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a\left(a^2-3\right)=0\\a=b=c\end{cases}}\) 

                                                                         \(\Leftrightarrow a=b=c=\sqrt{3}\left(a,b,c>0\right)\)

Vậy \(A_{max}=\frac{3}{2}\Leftrightarrow x=y=z=\sqrt{3}\)

7 tháng 12 2017

bài 1

ÁP dụng AM-GM ta có:

\(\frac{a^3}{b\left(2c+a\right)}+\frac{2c+a}{9}+\frac{b}{3}\ge3\sqrt[3]{\frac{a^3.\left(2c+a\right).b}{b\left(2c+a\right).27}}=a.\)

tương tự ta có:\(\frac{b^3}{c\left(2a+b\right)}+\frac{2a+b}{9}+\frac{c}{3}\ge b,\frac{c^3}{a\left(2b+c\right)}+\frac{2b+c}{9}+\frac{a}{3}\ge c\)

công tất cả lại ta có:

\(P+\frac{2a+b}{9}+\frac{2b+c}{9}+\frac{2c+a}{9}+\frac{a+b+c}{3}\ge a+b+c\)

\(P+\frac{2\left(a+b+c\right)}{3}\ge a+b+c\)

Thay \(a+b+c=3\)vào ta được":

\(P+2\ge3\Leftrightarrow P\ge1\)

Vậy Min là \(1\)

dấu \(=\)xảy ra khi \(a=b=c=1\)

11 tháng 10 2019

a b c la : nhau vay a 2 b 5 c 9

11 tháng 10 2019

dap an laf a 4  b 6c 14

31 tháng 12 2017

Áp dụng bđt cô si ta có:
\(\frac{a^2\left(b+1\right)}{a+b+ab}+\frac{a+b+ab}{b+1}\ge2a\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2\left(b+1\right)}{a+b+ab}\ge2a-\frac{a\left(b+1\right)+b}{b+1}=2a-a-\frac{b}{b+1}=a-\frac{b}{b+1}\)
Mặt khác:
\(\frac{b}{b+1}\le\frac{b+1}{4}\)
\(\Rightarrow\frac{a^2\left(b+1\right)}{a+b+ab}\ge a-\left(\frac{b+1}{4}\right)\)
Tương tự:
\(\frac{b^2\left(c+1\right)}{b+c+bc}\ge b-\left(\frac{c+1}{4}\right)\)
\(\frac{c^2\left(a+1\right)}{c+a+ca}\ge c-\left(\frac{a+1}{4}\right)\)
\(\Rightarrow P\ge\left(a+b+c\right)-\left(\frac{a+1}{4}+\frac{b+1}{4}+\frac{c+1}{4}\right)=\left(a+b+c\right)-\left(\frac{\left(a+b+c\right)+3}{4}\right)=3-\left(\frac{3+3}{4}\right)=\frac{3}{2}\)Vậy GTNN của P=3/2 
(Thấy sai sai chỗ nào đó mà ko biết chỗ nào, ae thấy thì chỉ nhá )

31 tháng 12 2017

đoạn bạn dùng cô si ấy hình như bị sai do nếu a=b=c=1 thì sao lại a^2(b+1)/(a+b+ab)=(a+b+ab)/(b+1)
 

NV
9 tháng 3 2020

Đặt \(\left(a+b;b+c;c+a\right)=\left(x;y;z\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}=2\)

\(\Rightarrow\frac{1}{1+x}=1-\frac{1}{1+y}+1-\frac{1}{1+z}=\frac{y}{1+y}+\frac{z}{1+z}\ge2\sqrt{\frac{yz}{\left(1+y\right)\left(1+z\right)}}\)

Tương tự: \(\frac{1}{1+y}\ge2\sqrt{\frac{zx}{\left(1+z\right)\left(1+x\right)}}\) ; \(\frac{1}{1+z}\ge2\sqrt{\frac{xy}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)}}\)

Nhân vế với vế:

\(\frac{1}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)}\ge\frac{8xyz}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)}\)

\(\Rightarrow8xyz\le1\Rightarrow A=xyz\le\frac{1}{8}\)

\(\Rightarrow A_{max}=\frac{1}{8}\) khi \(x=y=z=\frac{1}{2}\) hay \(a=b=c=\frac{1}{4}\)

10 tháng 3 2020

Ta có :

\(\frac{1}{a+b+1}=\left(1-\frac{1}{b+c+1}\right)+\left(1-\frac{1}{a+c+1}\right)=\frac{b+c}{b+c+1}+\frac{a+c}{a+c+1}\)

\(\ge2\sqrt{\frac{\left(b+c\right)\left(a+c\right)}{\left(b+c+1\right)\left(a+c+1\right)}}\)

Tương tự ta cũng có :

\(\frac{1}{b+c+1}\ge2\sqrt{\frac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{\left(a+b+1\right)\left(a+c+1\right)}}\)

\(\frac{1}{a+c+2}\ge2\sqrt{\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}{\left(a+b+1\right)\left(b+c+1\right)}}\)

Nhân 3 BĐT trên ta được :

\(\frac{1}{\left(a+b+1\right)\left(b+c+1\right)\left(a+c+1\right)}\ge\frac{8\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)}{\left(a+b+1\right)\left(b+c+1\right)+\left(a+c+1\right)}\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\le\frac{1}{8}\)

\(Max_A=\frac{1}{8}\) khi \(a=b=c=\frac{1}{4}\)

22 tháng 2 2020

\(P=\left[\left(2+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)+1\right]\left[\left(2+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+1\right]\left[\left(2+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)+1\right]\)

\(\ge\left(6\sqrt[3]{\frac{1}{4ab}}+1\right)\left(6\sqrt[3]{\frac{1}{4bc}}+1\right)\left(6\sqrt[3]{\frac{1}{4ca}}+1\right)\)

\(\ge\left[7\sqrt[7]{\left(\sqrt[3]{\frac{1}{4ab}}\right)^6}\right]\left[7\sqrt[7]{\left(\sqrt[3]{\frac{1}{4bc}}\right)^6}\right]\left[7\sqrt[7]{\left(\sqrt[3]{\frac{1}{4ca}}\right)^6}\right]\)

\(=\left[7\sqrt[7]{\left(\frac{1}{4ab}\right)^2}\right]\left[7\sqrt[7]{\left(\frac{1}{4bc}\right)^2}\right]\left[7\sqrt[7]{\left(\frac{1}{4ca}\right)^2}\right]\)

\(=343\sqrt[7]{\left(\frac{1}{64\left(abc\right)^2}\right)^2}\ge343\sqrt[7]{\left(\frac{1}{64\left[\frac{\left(a+b+c\right)^3}{27}\right]^2}\right)^2}=343\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{2}\)

P/s: Em chưa check lại đâu nha::D

22 tháng 2 2020

Khúc cuối bài ban nãy là \(\ge343\) nha! Em đánh nhầm

Cách khác (em thử dùng Holder, mới học nên em không chắc lắm):

\(P\ge\left(3+\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}+\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\right)^3=\left(3+2\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\right)^3\ge\left(3+2\sqrt[3]{\frac{1}{\left[\frac{\left(a+b+c\right)^3}{27}\right]}}\right)^3\ge343\)

9 tháng 1 2020

\(ab+bc+ca=abc\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\)

Đặt \(\frac{1}{a}=x;\frac{1}{b}=y;\frac{1}{c}=z\)

\(\frac{a}{bc\left(a+1\right)}=\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{y}\cdot\frac{1}{z}\left(\frac{1}{x}+1\right)}=\frac{xyz}{x\left(x+1\right)}=\frac{yz}{x+1}\)

Tươn tự rồi cộng vế theo vế:

\(A=\frac{xy}{z+1}+\frac{yz}{x+1}+\frac{zx}{y+1}\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4\left(z+1\right)}+\frac{\left(y+z\right)^2}{4\left(x+1\right)}+\frac{\left(z+x\right)^2}{4\left(y+1\right)}\)

Đặt \(x+y=p;y+z=q;z+x=r\Rightarrow p+q+r=2\)

\(A\le\Sigma\frac{\left(x+y\right)^2}{4\left(z+1\right)}=\Sigma\frac{\left(x+y\right)^2}{4\left[\left(z+y\right)+\left(z+x\right)\right]}=\frac{p^2}{4\left(q+r\right)}+\frac{r^2}{4\left(p+q\right)}+\frac{q^2}{4\left(p+r\right)}\)

Sau khi đổi biến,cô si thì em ra thế này.Ai đó giúp em với :)