Cho a >1, b>1. Tìm Min:
E= [a2/(b-1)] + [b2/ (a-1)]
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đề sai.
Nếu \(P=a+b+c+9\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\) thì có min, còn biểu thức này thì không có
Bạn có thể tính thử 3 bộ giá trị \(P\left(1;1;1\right)\) (điểm rơi dự kiến); \(P\left(1;\dfrac{9}{10};\dfrac{\sqrt{119}}{10}\right)\) ; \(P\left(1;\dfrac{1}{10};\dfrac{\sqrt{199}}{10}\right)\) sẽ hiểu tại sao
áp dụng BDT AM-GM
\(=>a^2+b^2+c^2\ge3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}\)
\(=>1\ge3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}=>1\ge27\left(abc\right)^2\)\(=>27\left(abc\right)^2\le1=>3\left(abc\right)^2\le\dfrac{1}{9}=>\left(abc\right)^2\le\dfrac{1}{27}=>abc\le\dfrac{1}{3\sqrt{3}}\)
\(=>\dfrac{8}{9abc}\ge\dfrac{8}{9.\dfrac{1}{3\sqrt{3}}}=\dfrac{8\sqrt{3}}{3}\)
\(S=a+b+c+\dfrac{1}{abc}=a+b+c+\dfrac{1}{9abc}+\dfrac{8}{9abc}\)
\(=>a+b+c+\dfrac{1}{9abc}\ge4\sqrt[4]{\dfrac{1}{9}}=\dfrac{4}{\sqrt{3}}\)
\(=>S\ge\dfrac{4}{\sqrt{3}}+\dfrac{8}{\sqrt{3}}=4\sqrt{3}\)
dấu"=" xyar ra<=>a=b=c=\(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
Các bn mà cop thì nhớ giải thích giúp mik đoạn \(a^2+b^2+c^2\ge3\sqrt[3]{abc}\) với
Bạn cần viết đề bằng công thức toán (biểu tượng $\sum$ bên trái khung soạn thảo) để được hỗ trợ tốt hơn.
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz và AM-GM:
$M=\frac{b^2+c^2}{a^2}+a^2(\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})$
$\geq \frac{b^2+c^2}{a^2}+a^2.\frac{4}{b^2+c^2}$
$=(\frac{b^2+c^2}{a^2}+\frac{a^2}{b^2+c^2})+\frac{3a^2}{b^2+c^2}$
$\geq \sqrt{\frac{b^2+c^2}{a^2}.\frac{a^2}{b^2+c^2}}+\frac{3(b^2+c^2)}{b^2+c^2}$
$=2+3=5$
Vậy $M_{\min}=5$
Câu hỏi của Hattory Heiji - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
Do a+b+c= 0
<=> a+b= -c
=> (a+b)2= c2
Tương tự: (c+a)2= b2, (c+b)2= a2
Ta có: \(A=\frac{1}{b^2+c^2-a^2}+\frac{1}{c^2+a^2-b^2}+\frac{1}{a^2+b^2-c^2}\)
\(=\frac{1}{b^2+c^2-\left(b+c\right)^2}+\frac{1}{c^2+a^2-\left(c+a\right)^2}+\frac{1}{a^2+b^2-\left(a+b\right)^2}\)
\(=\frac{1}{-2bc}+\frac{1}{-2ca}+\frac{1}{-2ab}\)
\(=\frac{a+b+c}{-2abc}=0\)
Áp dụng BĐT cauchy-Schwarz dạng Engel ta thu được:
\(E\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{a+b-2}=\frac{t^2}{t-2}\left(t=a+b>2\right)\)
Ta có: \(E\ge\frac{t^2}{t-2}+4\left(t-2\right)-4t+8\ge2\sqrt{\frac{t^2}{t-2}.4\left(t-2\right)}-4t+8\)
\(=4t-4t+8=8\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = 2 (chị tự giải kĩ ra nha)
Áp dụng bđt Cô si ta có:
\(E=\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{a-1}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{a-1}.\frac{b^2}{b-1}}\)
Mặt khác:\(\frac{a^2}{a-1}=\frac{a^2-4a+4+4a-4}{a-1}=\frac{\left(a-2\right)^2}{a-1}+4\ge4\)
Tương tự: \(\frac{b^2}{b-1}\ge4\).Nhân theo vế suy ra \(E\ge8\)
\("="\Leftrightarrow a=b=2\)