Cho các số nguyên a,b,c thỏa mãn a + b + c = 2040. Chứng minh: a^5 + b^5 + c^5 chia hết cho 30
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
18 tháng 4 2021
Đặt \(A=a^5+b^5+c^5\)
\(A-\left(a+b+c\right)=a^5-a+b^5-b+c^5-c\)
Ta có: \(B=a^5-a=a\left(a^4-1\right)=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)\)
Nếu \(a\) chia hết cho 5 \(\Rightarrow B\) chia hết cho 5
Nếu a chia 5 dư 1 hoặc -1 \(\Rightarrow\left(a-1\right)\left(a+1\right)\) chia hết chi 5 \(\Rightarrow\)B chia hết cho 5
Nếu a chia 5 dư 2 hoặc -2 \(\Rightarrow a^2+1\) chia 5 dư \(\left(\pm2\right)^2+1=5\Rightarrow a^2+1⋮5\Rightarrow B⋮5\)
Vậy \(B=a^5-a⋮5\) với mọi a nguyên
Hoàn toàn tương tự, \(b^5-b\) và \(c^5-c\) chia hết cho 5 với mọi b; c
\(\Rightarrow A-\left(a+b+c\right)⋮5\Rightarrow A⋮5\) (đpcm)
(Có thể ngắn gọn hơn là \(a^5\equiv a\left(mod5\right)\Rightarrow a^5-a⋮5\) ; \(\forall a\in Z\))
T
1
T
6 tháng 8 2023
Có : a + b + c = 0
=> (a + b)5 = (-c)5
a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5 = -c5
a5 + b5 + c5 = -5a4b - 10a3b2 - 10a2b3 - 5ab4
a5 + b5 + c5 = -5ab(a3 + 2a2b + 2ab2 + b3)
a5 + b5 + c5 = -5ab[(a3 + b3) + (2a2b + 2ab2)]
a5 + b5 + c5 = -5ab[(a + b)(a2 - ab + b2) + 2ab(a + b)]
a5 + b5 + c5 = -5ab(a + b)(a2 + b2 + ab)
a5 + b5 + c5 = 5abc(a2 + b2 + ab) (do a+b+c=0=> a+b=-c)
2(a5 + b5 + c5) = 5abc(2a2 + 2b2 + 2ab)
2(a5 + b5 + c5) = 5abc[a2 + b2 +(a2 + 2ab + b2)]
2(a5 + b5 + c5) = 5abc[a2 + b2 + (a + b)2]
2(a5 + b5 + c5) = 5abc(a2 + b2 + c2) (do a+b=-c=> (a +b )2 = c2
\(\Leftrightarrow\) \(a^5+b^5+c^5=\dfrac{5}{2}abc\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
Vậy...
I
1
5 tháng 8 2023
b: (3x-2)^5+(5-x)^5+(-2x-3)^5=0
Đặt a=3x-2; b=-2x-3
Pt sẽ trở thành:
a^5+b^5-(a+b)^5=0
=>a^5+b^5-(a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5)=0
=>-5a^4b-10a^3b^2-10a^2b^3-5ab^4=0
=>-5a^4b-5ab^4-10a^3b^2-10a^2b^3=0
=>-5ab(a^3+b^3)-10a^2b^2(a+b)=0
=>-5ab(a+b)(a^2-ab+b^2)-10a^2b^2(a+b)=0
=>-5ab(a+b)(a^2-ab+b^2+2ab)=0
=>-5ab(a+b)(a^2+b^2+ab)=0
=>ab(a+b)=0
=>(3x-2)(-2x-3)(5-x)=0
=>\(x\in\left\{\dfrac{2}{3};-\dfrac{3}{2};5\right\}\)
Ta có : \(a^5-a=a\left(a^4-1\right)=a\left(a^2-1\right)\left(a^2+1\right)=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)\)
\(=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2-4+5\right)\)
\(=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a-2\right)\left(a+2\right)+5a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\)
Vì \(a-2,a-1,a,a+1,a+2\) là 5 số nguyên liên tiếp nên h của chúng chia hết cho 5 và chia hết cho 2
\(=>a^5-a⋮5\)(1)
Mà a-1 và a+1 là 2 số tự nhiên liên tiếp nên h chúng chia hết cho 2
\(a^5-a⋮2\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(a^5-a⋮30\)
Tương tự ta có : \(b^5-b⋮30;c^5-c⋮30\)
\(=>a^5+b^5+c^5-\left(a+b+c\right)⋮30\)
Mà \(a+b+c=2020⋮30\) nên \(a^5+b^5+c^5⋮30\)