Với a,b \(\ge\) 0
CMR: ( 1+ a+ b) ( a+b + ab) \(\ge\) 9ab
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
BH
17 tháng 8 2017
a)Áp dụng bđt Cô-si:
\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}-1+\dfrac{ab}{a^2-ab+b^2}=\dfrac{a^2+b^2-ab}{ab}+\dfrac{ab}{a^2-ab+b^2}\ge2\sqrt{\dfrac{a^2+b^2-ab}{ab}.\dfrac{ab}{a^2-ab+b^2}}=2\)
=>\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{ab}{a^2-ab+b^2}\ge3\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=1
b) bđt sai rồi
LT
1
I
29 tháng 3 2020
ta có \(a\ge b\ge c\)
zì \(c\le b\)nên \(\left(a+b+c\right)^2\le\left(a+2b\right)^2\)
do zậy ta chỉ cần chứng minh \(9ab\ge\left(a+2b\right)^2\)
tương đương zới \(a^2-5ab+4b^2\le0\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a-4b\right)\le0\)
zì \(a\ge b\)zà theo bất đẳng thức tam giác có \(a< b+c\le2b\le4b\)nên điều trên luôn đúng
zậy bất đẳng thức đc CM . dấu "=" xảy ra khi zà chỉ khi a=b=c hay tam giác ABC đều
4 tháng 8 2021
đặt biể thức cần chứng minh là P
\(\dfrac{a}{\left(b+c\right)^2}=\dfrac{a^2}{a\left(b+c\right)^2}=\dfrac{\dfrac{a^2}{\left(b+c\right)^2}}{\dfrac{a\left(b+c\right)^2}{\left(b+c\right)^2}}=\dfrac{\left(\dfrac{a}{b+c}\right)^2}{a}\)
\(t\)ương tự
\(=>P\ge\dfrac{\left(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\right)^2}{a+b+c}\)
\(=>P\ge\dfrac{[\dfrac{a^2}{ab+ac}+\dfrac{b^2}{bc+ba}+\dfrac{c^2}{ca+cb}]^2}{a+b+c}\)
\(=>P\ge\dfrac{[\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}]^2}{a+b+c}=\dfrac{[\dfrac{3\left(ab+bc+ca\right)}{2\left(ab+bc+ca\right)}]^2}{a+b+c}\)
\(=>P\ge\dfrac{\dfrac{9}{4}}{a+b+c}=\dfrac{9}{4\left(a+b+c\right)}\) dấu"=" xảy ra<=>a=b=c
KN
1
11 tháng 1 2016
\(\left(a+b+c\right)^2-9ab\le\left(a+b+c\right)^2-9a^2=\left(a+b+c-3a\right)\left(a+b+c+3a\right)=\left(b+c-2a\right)\left(4a+b+c\right)\)
Vì \(a\ge b\ge c\Leftrightarrow b+c-2a\le0\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2-9ab\le0\)=> dpcm
UK
19 tháng 8 2017
1) Ta có: \(x^4+y^4\ge2x^2y^2\)
\(x^4+y^4\ge\dfrac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)^2\)
Tương tự: \(a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2\)
\(\Rightarrow a^4+b^4\ge\dfrac{1}{8}\left(a+b\right)^4\)
b) Câu hỏi tương tự
c) Đề sai
AH
Akai Haruma
Giáo viên
24 tháng 3 2018
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương ta có:
\(\frac{a}{4}+b\geq 2\sqrt{\frac{ab}{4}}=\sqrt{ab}\)
\(\frac{a}{4}+c\geq 2\sqrt{\frac{ac}{4}}=\sqrt{ac}\)
\(\frac{a}{4}+d\geq 2\sqrt{\frac{ad}{4}}=\sqrt{ad}\)
\(\frac{a}{4}+e\geq 2\sqrt{\frac{ae}{4}}=\sqrt{ae}\)
Cộng theo vế:
\(\Rightarrow a+b+c+d+e\geq \sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{ad}+\sqrt{ae}\)
\(\Leftrightarrow a+b+c+d+e\geq \sqrt{a}(\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{d}+\sqrt{e})\)
Ta có đpcm.
Dấu bằng xảy ra khi \(\frac{a}{4}=b=c=d=e\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
24 tháng 5 2018
a) Sai với \(a=1,b=2\)
b)
Thực hiện biến đổi tương đương:
\(\frac{a}{3b}+\frac{b(a+b)}{a^2+ab+b^2}\geq 1\)
\(\Leftrightarrow \frac{a}{3b}+\frac{b(a+b)+a^2}{a^2+ab+b^2}-\frac{a^2}{a^2+ab+b^2}\geq 1\)
\(\Leftrightarrow \frac{a}{3b}-\frac{a^2}{a^2+ab+b^2}\geq 0\)
\(\Leftrightarrow \frac{1}{3b}-\frac{a}{a^2+ab+b^2}\geq 0\)
\(\Leftrightarrow \frac{a^2+ab+b^2-3ab}{3b(a^2+ab+b^2)}\geq 0\)
\(\Leftrightarrow \frac{(a-b)^2}{3b(a^2+ab+b^2)}\geq 0\) (luôn đúng)
Do đó ta có đpcm. Dấu bằng xảy ra khi $a=b$
c) BĐT sai với \(a=1,b=2\)
PT
2
4 tháng 8 2017
Ta có:
\(3a^3+7b^3\ge3a^3+6b^3\)
Dấu "=" xảy ra <=> b=0
Mặt khác :
\(3a^3+6b^3=3a^3+3b^3+3b^3\ge9ab^2\)(Theo bđt Cô-si)
=> đpcm
Mih ko chắc đug nhưg mà thấy avatar để hih chị hương là vào liền
Kb nha (Fan ECADCA)
Bài này có nhiều cách, làm cách ngắn gọn, phổ thông nhé:
Với \(a,b\ge0\)Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho ba số không âm ta có:
\(1+a+b\ge3\sqrt[3]{1.a.b}=3\sqrt[3]{ab}\)
\(a+b+ab\ge3\sqrt[3]{a.b.ab}=3\sqrt[3]{a^2b^2}\)
\(\Rightarrow\left(1+a+b\right)\left(a+b+ab\right)\ge3\sqrt[3]{ab}.3\sqrt[3]{a^2b^2}=9ab\)
Dấu '=' xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a=b=1\\a=b=ab\end{cases}\Leftrightarrow a=b=1}\)
(p/s đừng ti ck cho câu trả lời này nhé)