Chứng minh : \(\sqrt{1^3+2^3+3^3+...+2019^3}=1+2+3+...+2019\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
PM
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
24 tháng 9 2019
Đề bài chắc chắn sai bạn
\(\sqrt{3+...+\sqrt{3}}>1\Rightarrow\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{3}}}>\sqrt{3+1}=2\)
JG
0
AN
9 tháng 12 2019
Ta có: \(\frac{1}{\left(k+1\right)\sqrt{k}+k\sqrt{k+1}}=\frac{\left(k+1\right)\sqrt{k}-k\sqrt{k+1}}{k\left(k+1\right)^2-k^2\left(k+1\right)}\)
\(=\frac{\sqrt{k\left(k+1\right)}\left(\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\right)}{k^3+2k^2+k-k^3-k^2}\)
\(=\frac{\sqrt{k\left(k+1\right)}\left(\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\right)}{k\left(k+1\right)}\)
\(=\frac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{\sqrt{k\left(k+1\right)}}=\frac{1}{\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k+1}}\)
Lần lượt thay k=1;2;...;2018 ta được:
\(\frac{1}{2\sqrt{1}+1\sqrt{2}}=\frac{1}{1}-\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}\)
...
\(\frac{1}{2019\sqrt{2018}+2018\sqrt{2019}}=\frac{1}{\sqrt{2018}}-\frac{1}{\sqrt{2019}}\)
Cộng vế theo vế ta được:
\(C=1-\frac{1}{\sqrt{2019}}=...\)
Để chứng minh được đẳng thức đó, ta cần chứng minh đẳng thức: 13 + 23 + 33 + ... + 20193 = (1 + 2 + 3 + ... + 2019)2
Ta có:
(1 + 2 + 3 + ... + 2019)2
\(=\left(\frac{2019.2020}{2}\right)^2\)
\(=\left(\frac{1.2}{2}\right)^2+\left[\left(\frac{2.3}{2}\right)^2-\left(\frac{1.2}{2}\right)^2\right]+\left[\left(\frac{3.4}{2}\right)^2-\left(\frac{2.3}{2}\right)^2\right]+...+\left[\left(\frac{2019.2020}{2}\right)^2-\left(\frac{2018.2019}{2}\right)^2\right]\left(1\right)\)
Mặt khác, với số tự nhiên n lớn hơn 1 ta có:
\(\left(\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right)^2-\left(\frac{\left(n-1\right)n}{2}\right)^2=\left(\frac{n\left(n+1\right)}{2}-\frac{\left(n-1\right)n}{2}\right)\left(\frac{n\left(n+1\right)}{2}+\frac{\left(n-1\right)n}{2}\right)=\frac{2n}{2}.\frac{2n.n}{2}=n^3\)
Do đó biểu thức (1) chính bằng 13 + 23 + 33 + ... + 20193
Vậy ta có đpcm