K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

4 tháng 5 2019

\(\frac{ab}{6+a-c}=\frac{ab}{a+b+c+a-c}=\frac{ab}{2a+b}\)

Áp dụng BĐT Cauchy-schwarz ta có:

\(\frac{ab}{2a+b}\le\frac{ab}{9}.\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=\frac{2b+a}{9}\)

Chứng minh tương tự ta có:

\(\frac{bc}{2b+c}\le\frac{bc}{9}.\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\frac{2c+b}{9}\)

\(\frac{ca}{2c+a}\le\frac{ac}{9}.\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)=\frac{2a+c}{9}\)

Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c

Cộng vế với vế của 3 BĐT trên ta có:

\(\frac{ab}{6+a-c}+\frac{bc}{6+b-a}+\frac{ac}{6+c-b}\)

\(=\frac{ab}{2a+b}+\frac{bc}{2b+c}+\frac{ca}{2c+a}\le\frac{3\left(a+b+c\right)}{9}=\frac{6}{3}=2\)

Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c=2

9 tháng 6 2017

sr tui ko có câu hỏi tương tự tui chỉ có câu hỏi y hệt thôi Xem câu hỏi

23 tháng 12 2018

Ad bđt : \(xy+yz+zx\le x^2+y^2+z^2\) (Cái bđt này c/m dễ : Nhân 2 vế với 2 -> chuyển vế -> tổng bình phương > 0 luôn đúng)

Kết hợp với bđt Cô-si cho 2 số dương ta đc

\(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}=\left(\frac{a^3}{b}+ab\right)+\left(\frac{b^3}{c}+bc\right)+\left(\frac{c^3}{a}+ac\right)-\left(ab+bc+ca\right)\)

                                   \(\ge2\sqrt{\frac{a^3}{b}.ab}+2\sqrt{\frac{b^3}{c}.bc}+2\sqrt{\frac{c^3}{a}.ac}-\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

                                       \(=2a^2+2b^2+2c^2-a^2-b^2-c^2\)

                                        \(=a^2+b^2+c^2\)

\(\Rightarrow\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge a^2+b^2+c^2\left(1\right)\)

Áp dụng bđt Cô-si cho 2 số dương

\(a^2+b^2\ge2ab\)

\(b^2+c^2\ge2bc\)

\(c^2+a^2\ge2ac\)

\(a^2+1\ge2a\)

\(b^2+1\ge2b\)

\(c^2+1\ge2c\)

Cộng từng vế của 6 bđt trên lại ta đc

\(3\left(a^2+b^2+c^2+1\right)\ge2\left(ab+bc+ca+a+b+c\right)\)

 \(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2+1\right)\ge2.6\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+1\ge4\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge3\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge a^2+b^2+c^2\ge3\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b=c\\a+b+c+ab+bc+ca=6\end{cases}}\)

                         \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b=c\\a+a+a+aa+aa+aa=6\end{cases}}\)(thay hết b , c thành a)

                         \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b=c\\3a^2+3a=6\end{cases}}\)

                        \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b=c\\a^2+a-2=0\end{cases}}\)

                         \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b=c\\\left(a-1\right)\left(a+2\right)=0\end{cases}}\)

                          \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)hoặc \(a=b=c=-2\)

Mà a,b,c là các số dương nên a = b = c  = 1

Vậy ............

1 tháng 6 2017

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(\frac{ab}{6+a-c}=\frac{ab}{a+b+c+a-c}=\frac{ab}{2a+b}\)

\(=\frac{ab}{a+a+b}\le\frac{1}{9}\left(\frac{ab}{a}+\frac{ab}{a}+\frac{ab}{b}\right)=\frac{1}{9}\left(2b+a\right)\)

Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:

\(\frac{bc}{6+b-a}\le\frac{1}{9}\left(2c+b\right);\frac{ca}{6+c-b}\le\frac{1}{9}\left(2a+c\right)\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:

\(VT\le\frac{1}{9}\cdot3\left(a+b+c\right)=\frac{1}{3}\cdot\left(a+b+c\right)=\frac{6}{3}=2\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=2\)

13 tháng 8 2020

\(VP=\frac{6}{\sqrt{\left(3a+bc\right)\left(3b+ca\right)\left(3c+ab\right)}}\)

\(=\frac{6}{\sqrt{\left[\left(a+b+c\right)a+bc\right]\left[\left(a+b+c\right)b+ca\right]\left[\left(a+b+c\right)c+ab\right]}}\)

\(=\frac{6}{\sqrt{\left(a+b\right)^2\left(b+c\right)^2\left(c+1\right)^2}}=\frac{6}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)}\)

\(VT=\frac{1}{3a+bc}+\frac{1}{3b+ca}+\frac{1}{3c+ab}\)

\(=\frac{1}{\left(a+b+c\right)a+bc}+\frac{1}{\left(a+b+c\right)b+ac}+\frac{1}{\left(a+b+c\right)c+ab}\)

\(=\frac{\left(b+c\right)+\left(a+c\right)+\left(a+b\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)}=\frac{6}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)}\)

Vậy VT = VP, đẳng thức được chứng minh

8 tháng 12 2017

Ta có: \(\frac{2a^3}{a^6+bc}\le\frac{2a^3}{2a^3\sqrt{bc}}=\frac{1}{\sqrt{bc}}\\ \)

CMTT: \(\frac{2b^3}{b^6+ca}\le\frac{1}{\sqrt{ca}}\)

            \(\frac{2c^3}{c^6+ab}\le\frac{1}{\sqrt{ab}}\)

\(\Rightarrow\frac{2a^3}{a^6+bc}+\frac{2b^3}{b^6+ca}+\frac{2c^3}{c^6+ab}\le\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ca}}+\frac{1}{\sqrt{ab}}\)\(=\) \(\frac{\sqrt{bc}}{bc}+\frac{\sqrt{ac}}{ac}+\frac{\sqrt{ab}}{ab}\)

    \(\le\frac{a+c}{2ac}+\frac{b+c}{2bc}+\frac{a+b}{2ab}=\frac{2\left(ab+bc+ca\right)}{2abc}=\frac{ab+bc+ca}{abc}\)    \(\le\frac{a^2+b^2+c^2}{abc}=\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}\left(đpcm\right)\)

      Dấu bằng xảy ra khi : a = b = c =1

8 tháng 12 2017

cái này là cái what j ko hiểu BÓ TAY CHẤM COM

9 tháng 5 2018

Ta có: \(\frac{ab}{6+a-c}+\frac{bc}{6+b-a}+\frac{ca}{6+c-b}\) 

\(=\frac{ab}{2a+b}+\frac{bc}{2b+c}+\frac{ca}{2c+a}\) 

Áp dụng BĐT \(\frac{1}{a+b+c}\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\) với a,b>0  

\(VT\le\frac{1}{9}\left(\frac{ab}{a}+\frac{ab}{a}+\frac{ab}{b}\right)+\frac{1}{9}\left(\frac{bc}{b}+\frac{bc}{b}+\frac{bc}{c}\right)+\frac{1}{9}\left(\frac{ca}{c}+\frac{ca}{c}+\frac{ca}{a}\right)=\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)=2\)

4 tháng 11 2019

CM BĐT : \(\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\ge3\left(x^3y+y^3z+z^3x\right)\)   ( * )

\(\frac{a}{ab+1}=\frac{a\left(ab+1\right)-a^2b}{ab+1}=a-\frac{a^2b}{ab+1}\)

TT ....

Áp dụng BĐT ( * ) với x = \(\sqrt{a}\); y = \(\sqrt{b}\); z = \(\sqrt{c}\) vào bài toán, ta có :

\(\frac{a}{ab+1}+\frac{b}{bc+1}+\frac{c}{ca+1}=a+b+c-\frac{a^2b}{ab+1}-\frac{b^2c}{bc+1}-\frac{c^2a}{ac+1}\)

\(\ge3-\frac{a^2b}{2\sqrt{ab}}-\frac{b^2c}{2\sqrt{bc}}-\frac{c^2a}{2\sqrt{ac}}=3-\frac{\sqrt{a^3b}+\sqrt{b^3c}+\sqrt{c^3a}}{2}\ge3-\frac{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}{2}=\frac{3}{2}\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)