Cho a, b, c là các số thực dương. CMR:
\(\frac{ab}{a+3b+2c}+\frac{bc}{b+3c+2a}+\frac{ca}{c+3a+2b}< \frac{a+b+c}{6}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
10 tháng 10 2017
Áp đụng bất đẳng thức Cauchy-Schwartz , ta có :
\(\frac{ab}{a+3b+2c}=\frac{ab}{\left(a+c\right)+\left(b+c\right)+2b}\le\frac{ab}{9}\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{2b}\right)\)
Tương tự , ta có:
\(\frac{bc}{b+3c+2a}=\frac{bc}{\left(a+b\right)+\left(a+c\right)+2c}\le\frac{bc}{9}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{2c}\right)\)
\(\frac{ac}{c+3a+2b}=\frac{ac}{\left(b+c\right)+\left(b+a\right)+2b}\le\frac{ac}{9}\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{b+a}+\frac{1}{2a}\right)\)
Cộng vế theo vế ta có :
\(\frac{ac}{c+3a+2b}+\frac{bc}{b+3c+2a}+\frac{ab}{a+3b+2c}\)
\(\le\frac{ab}{9}\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{2b}\right)+\frac{bc}{9}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{2c}\right)+\frac{ac}{9}\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{b+a}+\frac{1}{2a}\right)\)
\(=\frac{1}{9}\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{bc}{a+c}\right)+\frac{1}{9}\left(\frac{ab}{b+c}+\frac{ac}{b+c}\right)+\frac{1}{9}\left(\frac{ac}{a+b}+\frac{bc}{a+b}\right)+\frac{a}{18}+\frac{b}{18}+\frac{c}{18}\)\(=\frac{a+b+c}{6}\)
\(\RightarrowĐPCM\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
30 tháng 6 2020
Bạn tham khảo:
Câu hỏi của 원회으Won Hoe Eu - Toán lớp 8 | Học trực tuyến
Hơi tắt 1 xíu ^.^
T
24 tháng 1 2019
Ối,không ngờ đề gắt ~v
Theo Cô si,ta có: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{3}{\sqrt[3]{xyz}}\ge\frac{3}{\frac{x+y+z}{3}}=\frac{9}{x+y+z}\)
Suy ra \(\frac{1}{x+y+z}\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
Áp dụng vào,ta có: \(\frac{1}{a+2b+3c}=\frac{1}{\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(b+c\right)}\)
\(\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{b+c}\right)\)
Chứng minh tương tự và cộng theo vế:
\(VT\le\frac{1}{9}\left[\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)+2\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\right]\)
\(=\frac{1}{9}\left[3\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\right]=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\)
Lại có BĐT \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\Rightarrow\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)
Áp dụng vào,ta có: \(VT\le\frac{1}{3}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\)
\(\le\frac{1}{12}\left[2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\right]=\frac{1}{6}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Nhân abc vào mỗi vế : \(VT.abc\le\frac{1}{6}\left(ab+bc+ca\right)=\frac{abc}{6}\)
Chia cả hai vế cho abc (vì a,b,c dương nên abc khác 0): \(VT\le\frac{1}{6}< \frac{3}{16}\)(đpcm)
Cũng không biết đúng hay sai nữa :v
I
2 tháng 7 2020
Bìa này muốn làm cân 2 bước nha
Bước 1 ) CM BĐT \(\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge9\)
nó được CM như sau
áp dụng BĐT cô si ta đc
\(\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge3.\sqrt[3]{xyz}.3\sqrt[3]{\frac{1}{x}.\frac{1}{y}.\frac{1}{z}}=9.\sqrt[3]{xyz.\frac{1}{x}.\frac{1}{y}.\frac{1}{z}}=9\)
dấu = xảy ra khi x=y=z
I
2 tháng 7 2020
Bước 2 ) Theo CM bước 1 . áp dụng ta đc
\(\frac{ab}{a+3b+2c}=\frac{ab}{\left(a+c\right)+\left(b+c\right)+2b}=\frac{ab}{9}.\frac{9}{\left(a+c\right)+\left(b+c\right)+2b}\le\frac{ab}{9}.\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{2b}\right)\)
CM tương tự ta đc
\(\frac{bc}{b+3c+2a}\le\frac{bc}{9}.\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b}+\frac{1}{2c}\right)\)
\(\frac{ca}{c+3a+2b}\le\frac{ca}{9}\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+b}+\frac{1}{2a}\right)\)
cộng zế zới zế ta đc
\(A\le\frac{1}{9}\left(\frac{ab+bc}{a+c}+\frac{ab+ca}{b+c}+\frac{bc+ca}{a+b}+\frac{a}{2}+\frac{b}{2}+\frac{c}{2}\right)\)
\(A\le\frac{1}{9}\left(b+a+c+\frac{a+b+c}{2}\right)=\frac{a+b+c}{6}=\frac{6}{6}=1\)
=> MAx A=1 khi a=b=c=2
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
5 tháng 9 2020
\(abc=ab+bc+ca\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\)
\(\frac{1}{a+2b+3c}=\frac{1}{a+b+b+c+c+c}\le\frac{1}{36}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}\right)=\frac{1}{36}\left(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}\right)\)
Tương tự:
\(\frac{1}{2a+3b+c}\le\frac{1}{36}\left(\frac{2}{a}+\frac{3}{b}+\frac{1}{c}\right)\) ; \(\frac{1}{3a+b+2c}\le\frac{1}{36}\left(\frac{3}{a}+\frac{1}{b}+\frac{2}{c}\right)\)
Cộng vế với vế:
\(VT\le\frac{1}{36}\left(\frac{6}{a}+\frac{6}{b}+\frac{6}{c}\right)=\frac{1}{6}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\frac{1}{6}< \frac{3}{16}\)
TN
30 tháng 1 2017
Ta có:
\(\frac{ab}{a+3b+2c}=\frac{ab}{\left(a+c\right)+\left(b+c\right)+2b}\)\(\le\frac{ab}{9}\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{2b}\right)\)
Tương tự ta có: \(\frac{bc}{b+3c+2a}\le\frac{bc}{9}\left(\frac{1}{b+a}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{2c}\right)\)
và \(\frac{ca}{c+3a+2b}\le\frac{ca}{9}\left(\frac{1}{c+b}+\frac{1}{a+b}+\frac{1}{2a}\right)\)
Cộng theo vế ta có:\(VT\le\frac{1}{9}\left(\frac{bc+ac}{a+b}+\frac{bc+ab}{a+c}+\frac{ab+ac}{b+c}\right)+\frac{1}{18}\left(a+b+c\right)\)
\(\le\frac{1}{9}\left(a+b+c\right)+\frac{1}{18}\left(a+b+c\right)=\frac{a+b+c}{6}\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c
TA
1 tháng 5 2017
bài này ko khác gì câu 921427 nhé bạn, có điều bạn tìm cách tách a + 3b + 2c = (a + b) + (b + c) + (b + c)
Thêm nữa, áp dụng BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\) với a, b, c > 0
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
KN
20 tháng 2 2020
EZ!!!Sau khi sử dụng 1 số bđt đơn giản, ta sẽ được:
\(\text{Σ}_{cyc}\frac{ab}{a+3b+2c}\le\frac{1}{9}\text{Σ}_{cyc}\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}+\frac{a}{2}\right)=K\)
\(P\le K=\frac{1}{9}\left[\text{Σ}_{cyc}\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{bc}{a+c}\right)+\frac{a+b+c}{2}\right]\)
\(=\frac{1}{9}\left(b+a+c+\frac{a+b+c}{2}\right)=\frac{a+b+c}{6}\le1\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 2
\(P=\sum\frac{ab}{a+3b+2c}=\sum\frac{ab}{a+c+b+c+2b}\le\frac{1}{9}\sum\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}+\frac{ab}{2b}\right)=\frac{a+b+c}{6}\)
Dấu "=" có xảy ra tại \(a=b=c\)