chứng minh \(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge ab+bc+ca\)với a,b,c>0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
T
28 tháng 7 2019
Đề chơi căng nhỉ?
a) Dễ chứng minh VP =< 3
BĐT \(\Leftrightarrow\left(\frac{a+b}{1+a}-1\right)+\left(\frac{b+c}{1+b}-1\right)+\left(\frac{c+a}{1+c}-1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{b-1}{1+a}+\frac{c-1}{1+b}+\frac{a-1}{1+c}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(b-1\right)^2}{\left(1+a\right)\left(b-1\right)}+\frac{\left(c-1\right)^2}{\left(1+b\right)\left(c-1\right)}+\frac{\left(a-1\right)^2}{\left(1+c\right)\left(a-1\right)}\) >=0
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel vào VT ta có đpcm.
P/s: Èo, sao đơn giản thế nhỉ? Em có làm sai chỗ nào chăng?
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
3 tháng 7 2020
4.
\(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}=\frac{a^4}{ab}+\frac{b^4}{bc}+\frac{c^4}{ac}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)}{ab+bc+ca}\)
\(\Rightarrow\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{ab+bc+ca}=ab+bc+ca\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
5.
\(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}\ge2\sqrt{\frac{ab}{bc.ca}}=\frac{2}{c}\) ; \(\frac{a}{bc}+\frac{c}{ab}\ge\frac{2}{b}\) ; \(\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\ge\frac{2}{a}\)
Cộng vế với vế:
\(2\left(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\right)\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
3 tháng 7 2020
1.
Áp dụng BĐT \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)
\(\Rightarrow\left(\sqrt{ab}\right)^2+\left(\sqrt{bc}\right)^2+\left(\sqrt{ca}\right)^2\ge\sqrt{ab}.\sqrt{bc}+\sqrt{ab}.\sqrt{ac}+\sqrt{bc}.\sqrt{ac}\)
\(\Rightarrow ab+bc+ca\ge\sqrt{abc}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\)
2.
\(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2\sqrt[]{\frac{ab.bc}{ca}}=2b\) ; \(\frac{ab}{c}+\frac{ac}{b}\ge2a\) ; \(\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge2c\)
Cộng vế với vế:
\(2\left(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge a+b+c\)
3.
Từ câu b, thay \(c=1\) ta được:
\(ab+\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\ge a+b+1\)
5 tháng 3 2021
a) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có ngay :
\(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2\sqrt{\frac{ab}{c}\cdot\frac{bc}{a}}=2\sqrt{\frac{ab^2c}{ac}}=2\sqrt{b^2}=2\left|b\right|=2b\)( do b > 0 )
=> đpcm
Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c
b) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :
\(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2\sqrt{\frac{ab}{c}\cdot\frac{bc}{a}}=2b\)(1) ( như a) đấy :)) )
tương tự : \(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge2c\)(2) ; \(\frac{ab}{c}+\frac{ca}{b}\ge2a\)(3)
Cộng (1), (2), (3) theo vế ta có đpcm
Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c
c) \(\frac{a^3+b^3}{2ab}+\frac{b^3+c^3}{2bc}+\frac{c^3+a^3}{2ca}\)
\(=\frac{a^3}{2ab}+\frac{b^3}{2ab}+\frac{b^3}{2bc}+\frac{c^3}{2bc}+\frac{c^3}{2ca}+\frac{a^3}{2ca}\)
\(=\frac{a^2}{2b}+\frac{b^2}{2a}+\frac{b^2}{2c}+\frac{c^2}{2b}+\frac{c^2}{2a}+\frac{a^2}{2c}\)(I)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(\left(I\right)\ge\frac{\left(a+b+b+c+c+a\right)^2}{2b+2a+2c+2b+2a+2c}=\frac{\left[2\left(a+b+c\right)\right]^2}{4\left(a+b+c\right)}=\frac{4\left(a+b+c\right)^2}{4\left(a+b+c\right)}=a+b+c\)
hay \(\frac{a^3+b^3}{2ab}+\frac{b^3+c^3}{2bc}+\frac{c^3+a^3}{2ca}\ge a+b+c\)(đpcm)
Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c
DN
6 tháng 3 2018
Ta có:
\(\frac{a^3b}{a^3+b^3}-\frac{ab^3}{a^3+b^3}=\frac{ab\left(a^2-b^2\right)}{a^3+b^3}=\frac{ab\left(a-b\right)}{a^2-ab+b^2}=\frac{a-b}{\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-1}\ge\frac{a-b}{\frac{a}{b}+\frac{a}{a}-1}=\frac{b\left(a-b\right)}{a}\)
\(\frac{b^3c}{b^3+c^3}-\frac{bc^3}{b^3+c^3}=\frac{bc\left(b^2-c^2\right)}{b^3+c^3}=\frac{bc\left(b-c\right)}{b^2-bc+c^2}=\frac{b-c}{\frac{b}{c}+\frac{c}{b}-1}\ge\frac{b-c}{\frac{a}{c}+\frac{b}{b}-1}=\frac{c\left(b-c\right)}{a}\)
\(\frac{c^3a}{c^3+a^3}-\frac{ca^3}{c^3+a^3}=\frac{ca\left(c^2-a^2\right)}{c^3+a^3}=\frac{ca\left(c-a\right)}{c^2-ca+a^2}=\frac{c-a}{\frac{c}{a}+\frac{a}{c}-1}\ge\frac{c-a}{\frac{a}{c}+\frac{a}{a}-1}=\frac{c\left(c-a\right)}{a}\)
\(\Rightarrow\frac{a^3b}{a^3+b^3}-\frac{ab^3}{a^3+b^3}+\frac{b^3c}{b^3+c^3}-\frac{bc^3}{b^3+c^3}+\frac{c^3a}{c^3+a^3}-\frac{ca^3}{c^3+a^3}\ge\frac{b\left(a-b\right)+c\left(c-a\right)+c\left(b-c\right)}{a}=\frac{ab-b^2-ac+bc}{a}=\frac{\left(a-b\right)\left(b-c\right)}{a}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^3b}{a^3+b^3}+\frac{b^3c}{b^3+c^3}+\frac{c^3a}{c^3+a^3}\ge\frac{ab^3}{a^3+b^3}+\frac{bc^3}{b^3+c^3}+\frac{ca^3}{c^3+a^3}\left(đpcm\right)\)
NT
3
19 tháng 3 2019
\(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}=\frac{a^4}{ab}+\frac{b^4}{bc}+\frac{c^4}{ac}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+bc+ac}=\frac{\left(ab+bc+ac\right)^2}{ab+bc+ca}=ab+bc+ac\)
\("="\Leftrightarrow a=b=c\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
19 tháng 3 2019
\(\frac{a^4}{ab}+\frac{b^4}{bc}+\frac{c^4}{ac}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+ac+bc}\ge\frac{\left(ab+ac+bc\right)^2}{ab+ac+bc}=ab+ac+bc\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
LA
10 tháng 2 2020
Áp dụng bdt AM-GM
\(\frac{a}{b^3+ab}=\frac{1}{b}-\frac{b}{a+b^2}\ge\frac{1}{b}-\frac{b}{2\sqrt{ab^2}}=\frac{1}{b}-\frac{1}{2\sqrt{a}}\)\(\ge\frac{1}{b}-\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+1\right)\)
CMTT, ta được
\(\frac{b}{c^3+bc}\ge\frac{1}{c}-\frac{1}{4}\left(\frac{1}{b}+1\right);\frac{c}{a^3+ac}\ge\frac{1}{a}-\frac{1}{4}\left(\frac{1}{c}+1\right)\)
Cộng ba bdt
VT \(\ge\frac{3}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)-\frac{3}{4}\)
Quy bài toán về cm
\(\frac{3}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)-\frac{3}{4}\ge\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\Leftrightarrow\left(\frac{1}{a}+a\right)+\left(\frac{1}{b}+b\right)+\left(\frac{1}{c}+c\right)\ge6\) ( vì a+b+c=3)
Dễ dàng chứng minh bđt cuối bằng cách áp dụng AM-GM trực tiếp
ĐPCM
T
23 tháng 11 2019
a) Đơn giản, tự chứng minh
b) Cách 1: Áp dụng BĐT câu a: \(VT\ge\left(a^2+ab-b^2\right)+\left(b^2+bc-c^2\right)+\left(c^2+ca-a^2\right)=ab+bc+ca=VP\)(đpcm)
Cách 2:
Ta chứng minh BĐT chặt hơn: \(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge a^2+b^2+c^2\) (vì \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\))
Giả sử \(b=min\left\{a,b,c\right\}\).Bằng phương pháp B-W (Buffalo way) ta phân tích được:
\(VT-VP=\frac{\left(4a^2c+4abc-b^3+3b^2c-bc^2\right)\left(a-b\right)^2+b\left(b^2+bc+c^2\right)\left(a+b-2c\right)^2}{4abc}\ge0\)
P/s: Cách 2 tuy dài nhưng rất hay vì đây là phân tích bằng tay (không cần dùng phần mềm)!
ML
7 tháng 8 2016
Sử dụng bđt Côsi:
\(\frac{a^3}{b}+ab\ge2\sqrt{\frac{a^3}{b}.ab}=2a^2\)
Tương tự và suy ra:
\(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}+ab+bc+ca\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)
Thu gọn lại, ta có đpcm.
BN
7 tháng 8 2016
a^3/b +a^3/b +b^2 >=3.a^2
=>2a^3/b +b^2>=3a^2
Cm tương tự :
2b^3/c +c^2 >=3.b^2
2c^3/a +a^2 >=3.c^2
Cộng vế ta đc :
2(a^3/b+b^3/c+c^3/a) +(a^2+b^2+c^2) >=3.(a^2+b^2+c^2)
=>a^3/b+b^3/c+c^3/a >=a^2+b^2+c^2
Mặt khác :
a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca
nên
a^3/b+b^3/c+c^3/a >=ab+bc+ca Dấu
= xảy ra khi a=b=c
Áp dụng bđt AM-GM:
\(\frac{a^3}{b}+ab\ge2a^2\)
\(\frac{b^3}{c}+bc\ge2b^2\)
\(\frac{c^3}{a}+ac\ge2c^2\)
\(\Rightarrow\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}+ab+bc+ac\ge2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2ac+2bc\)
\(\Rightarrow\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge ab+bc+ac\left(đpcm\right)\)
\("="\Leftrightarrow a=b=c\)