Cho 3 số thực dương x,y,z thõa mãn \(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}=1\)\(1\)
Chứng minh rằng: Trong 2 số x,y,z có ít nhất một số không nhỏ hơn 2 và có ít nhất 1 số không lớn hơn 2.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
22 tháng 2 2020
Ta giả sử 3 số đều =2
=>\(\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=1\)(Đúng)
=>đpcm
P/s : nhanh gọn lẹ :))
10 tháng 3 2020
Đặt \(A=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}=1\)
Không mất tính tổng quát giả sử:
\(\frac{1}{x+1}< \frac{1}{y+1}< \frac{1}{z+1}\)
Ta có
+) \(A>\frac{3}{1+x}\Leftrightarrow1>\frac{3}{1+x}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{3}>\frac{1}{x+1}\Leftrightarrow x+1>3\)
<=> x>2(1)
+) \(A< \frac{3}{1+z}\Leftrightarrow1< \frac{3}{1+z}\Leftrightarrow\frac{1}{3}< \frac{1}{1+z}\Leftrightarrow1+z< 3\Leftrightarrow x< 2\)(2)
Từ (1) (2) => ĐPCM
25 tháng 2 2020
Vai trò \(x,y,z\)như nhau không mất tính tổng quát ta giả sử \(x\ge y\ge z\)
Nếu \(x< 2\)thì \(xyz< 2\cdot2\cdot z=4z=z+3z< 2+3z\le2+x+y+z\)(mâu thuẫn)
Vậy \(x\ge2\)
Nếu \(z>2\)thì \(xyz>x\cdot2\cdot2=4x=x+3x>2+3x\ge2+x+y+z\)(mâu thuẫn)
Vậy \(z\le2\)
Nghĩa là có ít nhất 1 số không nhỏ hơn 2 và ít nhất 1 số không lớn hơn 2
18 tháng 4 2020
Từ gt, ta có \(\left(xyz\right)^2=\left[x\left(1-x\right)\right]\left[y\left(1-y\right)\right]\left[z\left(1-z\right)\right]\)
Sử dụng BĐT AM-GM dạng \(ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\), ta có:
\(x\left(1-x\right)\le\frac{1}{4};y\left(1-y\right)\le\frac{1}{4};z\left(1-z\right)\le\frac{1}{4}\)
Nhân các bđt trên lại theo vế =. \(\left(xyz\right)^2\le\frac{1}{64}\)hay \(xyz\le\frac{1}{8}\)
Gọi A là số lớn nhất trong các số x(1-y);y(1-z); z(1-y)
khi đó từ gt, ta có:
\(3A\ge x\left(1-y\right)+y\left(1-z\right)+z\left(1-x\right)\)
\(=1-xyz-\left(1-x-y-z+xy+yz+zx-xyz\right)\)
\(=1-xyz-\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)\)
\(=1-2xyz\ge\frac{3}{4}\)
từ các đánh giá trên => \(A\ge\frac{1}{4}\)
=> đpcm
1 tháng 2 2018
1/x + 1/y + 1/z = 1/3 = 1/x+y+z
<=> xy+yz+zx/xyz = 1/x+y+z
<=> (xy+yz+zx).(x+y+z) = xyz
<=> x^2y+xy^2+y^2z+yz^2+z^2x+zx^2+3xyz = xyz
<=> x^2y+xy^2+y^2z+zy^2+z^2x+zx^2+2xyz = 0
<=> (x+y).(y+z).(z+x) = 0
<=> x+y=0 hoặc y+z=0 hoặc z+x = 0
<=> z=3 hoặc x=3 hoặc y=3
=> ĐPCM
Tk mk nha
