cho a b c là độ dài 3 cạnh tam giác: A=(a)/(b+c) +(b)/(a+c) =(c)/(a+b).
Chứng minh A là một số nguyên
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
PV
cho a b c là độ dài 3 cạnh tam giác: A=(a)/(b+c) +(b)/(a+c) =(c)/(a+b).
Chứng minh A là một số nguyên
0
XO
20 tháng 1 2023
Ta có bất đẳng thức sau
a2 + b2 + c2 \(\ge\) ab + bc + ca (1)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c
Thật vậy (1) <=> 2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2bc - 2ca \(\ge0\)
<=> (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 \(\ge0\) (bđt này luôn đúng)
Khi đó ta được (1) <=> 2(a2 + b2 + c2) \(\ge\) 2(ab + bc + ca)
<=> 3(a2 + b2 + c2) \(\ge\) 2ab + 2bc + 2ca + a2 + b2 + c2
<=> 3(a2 + b2 + c2) \(\ge\) (a + b + c)2
=> -(a2 + b2 + c2) \(\le\dfrac{(a+b+c)^2}{3}\)
Ta có \(P=\dfrac{b+c}{b+c-a}+\dfrac{c+a}{c+a-b}+\dfrac{a+b}{a+b-c}\)
\(=\dfrac{a}{b+c-a}+\dfrac{b}{a+c-b}+\dfrac{c}{a+b-c}+3\)
\(=\dfrac{a^2}{ab+ac-a^2}+\dfrac{b^2}{ab+bc-b^2}+\dfrac{c^2}{ac+bc-c^2}+3\)
\(\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+ac-a^2+ab+bc-b^2+ac+bc-c^2}+3\) (BĐT Schwarz)
\(=\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2ab+2ac+2bc-a^2-b^2-c^2}+3\)
\(=\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2-2\left(a^2+b^2+c^2\right)}+3\)
\(\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2-\dfrac{2}{3}\left(a+b+c\right)^2}+3=\dfrac{1}{1-\dfrac{2}{3}}+3=6\) (đpcm)
LH
1
21 tháng 8 2017
Vì a;b;c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác nên \(\hept{\begin{cases}a+b>c\\a+c>b\\b+c>a\end{cases}}\)(bất đẳng thức tam giác)
\(\Rightarrow\frac{c}{a+b}< 1\Rightarrow\frac{c}{a+b}< \frac{2c}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\frac{b}{a+c}< 1\Rightarrow\frac{b}{a+c}< \frac{2b}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b+c}< 1\Rightarrow\frac{a}{b+c}< \frac{2a}{a+b+c}\)
Cộng vế với vế ta được :
\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}< \frac{2a+2b+2c}{a+b+c}=2\)(đpcm)
NL
1
16 tháng 10 2017
Áp dụng bất đẳng thức Cô - si cho 3 số dương a, b, c
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\) ; \(b+c\ge2\sqrt{bc}\); \(c+a\ge\sqrt{ca}\)
Nhân các vế của BĐT \(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\)
Dấu " = " xảy ra khi a = b = c => tam giác đó đều
ML
10 tháng 8 2015
Do a,b,c là 3 cạnh là 3 cạnh tam giác =>a,b,c>0
Áp dụng BĐT co si cho 2 số dương ta có:
a+b\(\ge2\sqrt{ab}\)
b+c\(\ge2\sqrt{bc}\)
a+c\(\ge2\sqrt{ac}\)
=>(a+b)(b+c)(c+a)>\(2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ac}=8\sqrt{a^2b^2c^2}=8abc\)
Dấu bằng xảy ra <=>a=b b=c c=a=>a=b=c
Mà theo đề bài (a+b)(b+c)(c+a)=8abc
=>a=b=c=>tam giác đó là tam giác đều
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
29 tháng 1 2021
\(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\Leftrightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\)
Tương tự: \(b+c\ge2\sqrt{bc}\) ; \(c+a\ge2\sqrt{ca}\)
Nhân vế với vế:
\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\) hay tam giác đã cho là tam giác đều