Tìm GTNN của: \(\frac{\left(x^2+2x+3\right)\left(x^2+2x+9\right)}{x^2+2x+1}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
T
3 tháng 11 2019
ĐK: \(\left(x-2\right)\left(x^2+1\right)+2x\left(x-2\right)\ne0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x+1\right)^2\ne0\Leftrightarrow x\ne-1;2\)
Ta có: \(A=\frac{x^2\left(x-2\right)+4\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(x^2+2x+1\right)}=\frac{x^2+4}{\left(x+1\right)^2}=\frac{t^2-2t+5}{t^2}\left(t=x+1\right)\)
\(=\frac{5}{t^2}-\frac{2}{t}+1=5\left(\frac{1}{t}-\frac{1}{5}\right)^2+\frac{4}{5}\ge\frac{4}{5}\)
Đẳng thức xảy ra khi t = 5 hay x=4
Vậy..
BA
3
H
31 tháng 10 2018
Vì \(\hept{\begin{cases}\left(2x+3\right)^2\ge0\\\left|x^2-\frac{9}{4}\right|\ge0\end{cases}}\)=> \(D\ge3\cdot0+2\cdot0+3,5=3,5\)
Dấu = xảy ra khi \(x=-\frac{3}{2}\)
31 tháng 10 2018
Ta có:
\(D=3\left(2x+3\right)^2+2\left|x^2-\frac{9}{4}\right|+3,5\)
Mà: \(\left(2x+3\right)^2\ge0\) với mọi x
\(\left|x^2-\frac{9}{4}\right|\ge0\) với mọi x
\(\Rightarrow3\left(2x+3\right)^2+2\left|x^2-\frac{9}{4}\right|\ge0\)
\(\Rightarrow3\left(2x+3\right)^2+2\left|x^2-\frac{9}{4}\right|+3,5\ge3,5\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}2x+3=0\\x^2-\frac{9}{4}=0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=-\frac{3}{2}\\x=\pm\frac{3}{2}\end{cases}\Rightarrow}x=\pm\frac{3}{2}}\)
Vậy: GTNN của D bằng 3,5 khi x = \(\pm\)\(\frac{3}{2}\)
TN
28 tháng 10 2019
1 M=\(x^2-4xy+4y^2-2x+4y+10\)
=\(\left(x^2-4xy+4y^2\right)+\left(-2x+4y\right)+10\)
\(=\left(x-2y\right)^2-2\left(x-2y\right)+10\)
\(=\left(x-2y\right)\left(x-2y-2\right)+10\)
vì \(\left(x-2y\right)\left(x-2y-2\right)\ge0\)
nên \(\left(x-2y\right)\left(x-2y-2\right)+10\ge10\)
\(\Rightarrow\)A\(\ge13\)
dấu "=" xảy ra khi (x-2y)(x-2y-2)=0
\(\left[{}\begin{matrix}x-2y=0\\x-2y-2=0\end{matrix}\right.\)
\(\left[{}\begin{matrix}2y=x\\x-2y=2\end{matrix}\right.\)
\(\left[{}\begin{matrix}x=0;y=0\\x=2;y=1\end{matrix}\right.\)
vậy GTNN của M=10 khi x=0; y=0
x=2;y=1
ZT
1
1 tháng 7 2018
\(D\left(x\right)=\frac{\left(x^2+2x+3\right)\left(x^2+2x+9\right)}{x^2+2x+1}\)
Đặt \(a=x^2+2x+1=\left(x+1\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow\)\(D\left(x\right)=\frac{\left(a+2\right)\left(a+8\right)}{a}=\frac{a^2+10a+16}{a}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:\(a^2+16\ge2\sqrt{a^2.16}=2.4a=8a\)
\(\Rightarrow D\left(x\right)\ge\frac{8a+10a}{a}=\frac{18a}{a}=18\)
Nên minD(x)=18 đạt được khi \(a=4\Leftrightarrow\left(x+1\right)^2=4\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x+1=2\\x+1=-2\end{cases}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\x=-3\end{cases}}}\)
DK
7
15 tháng 6 2017
\(f\left(x\right)=\frac{2x^2-2x+3}{x^2-x+2}=\frac{2\left(x^2-x+2\right)-1}{x^2-x+2}=2-\frac{1}{x^2-x+2}=2-\frac{1}{\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{7}{4}}\)
Ta thấy : \(\left(x-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\forall x\)
\(\Leftrightarrow\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{7}{4}\ge\frac{7}{4}\forall x\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{7}{4}}\ge\frac{1}{\frac{7}{4}}=\frac{4}{7}\forall x\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)=2-\frac{1}{\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{7}{4}}\ge2-\frac{4}{7}=\frac{10}{7}\forall x\) có GTNN là \(\frac{10}{7}\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\left(x-\frac{1}{2}\right)^2=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\)
Vậy \(f\left(x\right)_{min}=\frac{10}{7}\) tại \(x=\frac{1}{2}\)
Hy vọng bạn học BĐT Cauchy rồi
\(x\ne-1\)
Đặt \(\left(x+1\right)^2=a>0\Rightarrow P=\frac{\left(a+2\right)\left(a+8\right)}{a}=\frac{a^2+10a+16}{a}\)
\(P=a+\frac{16}{a}+10\ge2\sqrt{a.\frac{16}{a}}+10=18\)
\(\Rightarrow P_{min}=18\) khi \(a=4\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-3\end{matrix}\right.\)