K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

14 tháng 3 2019

Áp dụng bđt AM-GM:

\(x^2y^2+y^2z^2\ge2\sqrt{x^2y^4z^2}=2xy^2z\)

\(y^2z^2+z^2x^2\ge2\sqrt{x^2y^2z^{^4}}=2xyz^2\)

\(x^2y^2+z^2x^2\ge2\sqrt{x^4y^2z^2}=2x^2yz\)

Cộng theo vế và rút gọn: \(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\ge x^2yz+xy^2z+xyz^2\)

\(\Leftrightarrow x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2-x^2yz-xy^2z-xyz^2\ge0\left(đpcm\right)\)

14 tháng 3 2019

\(\left(xy-yz\right)^2=x^2y^2-2xy^2z+y^2z^2\ge0\)

\(\Rightarrow x^2y^2+y^2z^2\ge2xy^2z\)

Thiết lập hai BĐT còn tại tương tự và cộng theo vế và chia cho 2:

\(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\ge x^2yz+y^2xz+z^2xy\)

Chuyển vế ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi \(xy=yz=zx\Leftrightarrow x=y=z\)

27 tháng 2 2020

Tham khảo:

Câu hỏi của Nguyễn Tấn Phát

link:https://olm.vn/hoi-dap/detail/214667445437.html

ib đưa link

27 tháng 2 2020

Mình cảm ơn ạ

30 tháng 12 2021

\(5x^2+2xy+2y^2-\left(4x^2+4xy+y^2\right)=\left(x-y\right)^2\ge0\\ \Leftrightarrow5x^2+2xy+2y^2\ge4x^2+4xy+y^2=\left(2x+y\right)^2\)

\(\Leftrightarrow P\le\dfrac{1}{2x+y}+\dfrac{1}{2y+z}+\dfrac{1}{2z+x}=\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{9}{x+x+y}+\dfrac{9}{y+y+z}+\dfrac{9}{z+z+x}\right)\\ \Leftrightarrow P\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{x}\right)\\ \Leftrightarrow P\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{3}{x}+\dfrac{3}{y}+\dfrac{3}{z}\right)=\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)=1\)

Dấu \("="\Leftrightarrow x=y=z=1\)

30 tháng 12 2021

Em cảm ơn anh ạ! 

Anh giúp em ạ! 

https://hoc24.vn/cau-hoi/cho-abc-la-cac-so-duong-cmr-dfraca2bcdfracb2cadfracc2abgedfracabc2.4139278814936

25 tháng 7 2020

Ta có:

\(\left(x^2+2xy+y^2\right)+\left(y^2+2yz+z^2\right)+\left(z^2+2zx+x^2\right)+\left(x^2+10x+25\right)+\left(y^2+6y+9\right)+z^2=0\)\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2+\left(y+z\right)^2+\left(z+x\right)^2+\left(x+5\right)^2+\left(y+3\right)^2+z^2=0\)

Không tồn tại x,y,z thỏa mãn đề bài

NV
31 tháng 1 2019

\(2x^2+2xy+5y^2=\left(x+2y\right)^2+\left(x-y\right)^2\ge\left(x+2y\right)^2\)

\(\Rightarrow P\ge\dfrac{x+2y}{3x+y+5z}+\dfrac{y+2z}{3y+z+5x}+\dfrac{z+2x}{3x+x+5y}\)

\(\Rightarrow P\ge\dfrac{\left(x+2y\right)^2}{\left(x+2y\right)\left(3x+y+5z\right)}+\dfrac{\left(y+2z\right)^2}{\left(y+2z\right)\left(3y+z+5x\right)}+\dfrac{\left(z+2x\right)^2}{\left(z+2x\right)\left(3x+x+5y\right)}\)

\(\Rightarrow P\ge\dfrac{\left(x+2y\right)^2}{3x^2+2y^2+7xy+5xz+10yz}+\dfrac{\left(y+2z\right)^2}{3y^2+2z^2+7yz+5xy+10xz}+\dfrac{\left(z+2x\right)^2}{3z^2+2x^2+7xz+5yz+10xy}\)

\(\Rightarrow P\ge\dfrac{\left(x+2y+y+2z+z+2x\right)^2}{5\left(x^2+y^2+z^2\right)+22\left(xy+xz+yz\right)}\)

\(\Rightarrow P\ge\dfrac{9\left(x+y+z\right)^2}{5\left(x+y+z\right)^2+12\left(xy+xz+yz\right)}\ge\dfrac{9\left(x+y+z\right)^2}{5\left(x+y+z\right)^2+\dfrac{12\left(x+y+z\right)^2}{3}}\)

\(\Rightarrow P\ge1\)

\(\Rightarrow P_{min}=1\) khi \(x=y=z\)

2 tháng 8 2021

Ta có:

D=2x2+3y2+4xy−8x−2y+18C=2x2+3y2+4xy−8x−2y+18

D=2(x2+2xy+y2)+y2−8x−2y+18C=2(x2+2xy+y2)+y2−8x−2y+18

D=2[(x+y)2−4(x+y)+4]+(y2+6y+9)+1C=2[(x+y)2−4(x+y)+4]+(y2+6y+9)+1

D=2(x+y−2)2+(y+3)2+1≥1C=2(x+y−2)2+(y+3)2+1≥1

Dấu "=" xảy ra ⇔x+y=2⇔x+y=2và y=−3y=−3

Hay x = 5 , y = -3

Đc chx bạn

2 tháng 8 2021