Xác định phần dư R(x) xủa phép chia \(P\left(x\right)=x+x^3+x^9+x^{27}+x^{81}\) cho x-1
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Giả sử \(P\left(x\right)=\left(x^2-1\right).Q\left(x\right)+ax+b\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}P\left(1\right)=a+b\\P\left(-1\right)=-a+b\end{matrix}\right.\)
Mà thay \(x=1\) và \(x=-1\) vào \(P\left(x\right)\) ta được \(\left\{{}\begin{matrix}P\left(1\right)=5\\P\left(-1\right)=-5\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=5\\-a+b=-5\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=5\\b=0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow R\left(x\right)=ax+b=5x\)
Dư trong phép chia cho $x^2-1$ có bậc cao nhất là bậc nhất.
Gọi thương của phép chia là $Q_{(x)}$ và dư là ax+b, với mọi x ta có: $ x+x^3+x^9+x^{27}+x^{81}=(x^2-1).Q_{(x)}+ax+b$
Với $x =1$ thì $5=a+b.$
Với $x=-1$ thì $-5=-a+b.$
Từ đó $a=5,b=0$ .Dư của phép chia là 5x.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a)
Gọi đa thức dư là A(x)
Vì đa thức dư P(x) có bậc là 3
nên đa thức dư có bậc không quá 2
hay đa thức dư có dạng là \(ax^2+bx+c\)
Ta có: Q(x)=\(A\left(x\right)\cdot\left(x-1\right)\cdot x\cdot\left(x+1\right)+ax^2+bx+c\)
Với x=1 thì a+b+c=6(1)
Với x=-1 thì a-b+c=-4(2)
Với x=0 thì c=1
Thay c=1 vào (1), (2), ta được:
a+b=5 và a-b=-5
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=5-b\\5-b-b=-5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=5-b\\-2b=-5-5=-10\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=5-5=0\\b=5\end{matrix}\right.\)
Vậy: đa thức dư có dạng là 5x+1
b) Để Q(x) chia hết cho P(x) thì 5x+1=0
\(\Leftrightarrow5x=-1\)
hay \(x=-\dfrac{1}{5}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
gọi Q(x) là thương và ax+b là số dư của phép chia trên. ta có:
\(x+x^3+x^9+x^{27}+x^{81}=\left(x^2-1\right).Q\left(x\right)+ax+b\)
với x = 1 thì: a + b = 5 (1)
với x = -1 thì: -a + b = -5 (2)
từ (1); (2) => b = 0; a = 5
=> số dư của phép chia là 5x
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Đề có sao không bạn \(1\sqrt{2}=\sqrt{2}\)mà
Thấy hơi lạ, toán lớp 8 mak dùng căn như thế này thì lần đầu gặp . Nhưng mk vẫn làm cái dạng, ví dụ bạn viết sai đề thì có thể nhìn dạng mak làm lại
Ta có đa thức chia g(x) là đa thức bậc 2 nên đa thức dư là đa thức có bậc không lớn hơn 1 .
Do đó gọi đa thức dư là ax+b ( lưu ý ở đây không thêm điều kiện a khác 0 do ax+b cs thể là đa thức bậc 0)
Ta có
\(x^{27}+x^9+x^3+x=\left(x^2-\sqrt{2}\right)q\left(x\right)+ax+b\)
\(x^{27}+x^9+x^3+x=\left(x-\sqrt[4]{2}\right)\left(x+\sqrt[4]{2}\right)q\left(x\right)+ax+b\left(1\right)\)
Nếu \(x=\sqrt[4]{2}\)thì (1) trở thành : \(5\cdot\sqrt[4]{2}+65\cdot\left(\sqrt[4]{2}\right)^3=a\cdot\sqrt[4]{2}+b\)
Nếu \(x=-\sqrt[4]{2}\)thì (1) trở thành \(-5\cdot\sqrt[4]{2}-65\cdot\left(\sqrt[4]{2}\right)^3=-a\cdot\sqrt[4]{2}+b\)
Từ đó ta suy ra được .\(a=5+65\cdot\sqrt{2}\), \(b=0\)
Vậy đa thức dư là \(\left(5+65\cdot\sqrt{2}\right)x\)
Lưu ý : mấy cái phép tính căn thức thì bạn tự search google coi nhé. Nếu mình làm ra thì dài lắm
Định lí Bezout: Số dư của phép chia đa thức
cho nhị thức
bằng giá trị của
tại![{\displaystyle x=r}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acd647ea131935fff3b41ad488588af96c61cddf)
Ta có số dư R(x) của phép chia P(x) cho x-1 là giá trị của P(x) tại x=1.
Có P(1)=\(1+1^3+1^9+1^{27}+1^{81}=5\)
Vậy số dư R(x) của phép chia P(x) cho x-1 là 5.
\(\text{cách khác :)}\)
\(x\equiv1\left(\text{mod x-1}\right)\Rightarrow x^k\equiv1\left(\text{mod x-1}\right)\text{ với k thuộc N}\)
\(\Rightarrow x^3,x,x^9,x^{27},x^{81}\text{ đều chia x-1 dư 1}\)
\(\text{Nên số dư của P(x) cho x-1 là 5}\)