a) Cho a,b,c là các số thực dương, chứng minh :
\(a+b+c\ge36\left(1-\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{c}\right)\)
b) Tìm các cặp số nguyên x,y dương thỏa mãn :
\(x\left(x^2+1\right)+y^2\left(y+1\right)\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
24 tháng 1 2022
1.
\(y^2+y\left(x^3+x^2+x\right)+x^5-x^4+2x^3-2x^2\)
\(\Delta=\left(x^3+x^2+x\right)^2-4\left(x^5-x^4+2x^3-2x^2\right)\)
\(=\left(x^3-x^2+3x\right)^2\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y=\dfrac{-x^3-x^2-x+x^3-x^2+3x}{2}=-x^2+x\\y=\dfrac{-x^3-x^2-x-x^3+x^2-3x}{2}=-x^3-2x\end{matrix}\right.\)
Hay đa thức trên có thể phân tích thành:
\(\left(x^2-x+y\right)\left(x^3+2x+y\right)\)
Dựa vào đó em tự tách cho phù hợp
HQ
15 tháng 2 2021
thử bài bất :D
Ta có: \(\dfrac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\dfrac{a}{2}+\dfrac{a}{2}+\dfrac{a}{2}+\dfrac{b+c}{4}\ge5\sqrt[5]{\dfrac{1}{a^3\left(b+c\right)}.\dfrac{a^3}{2^3}.\dfrac{\left(b+c\right)}{4}}=\dfrac{5}{2}\) ( AM-GM cho 5 số ) (*)
Hoàn toàn tương tự:
\(\dfrac{1}{b^3\left(c+a\right)}+\dfrac{b}{2}+\dfrac{b}{2}+\dfrac{b}{2}+\dfrac{c+a}{4}\ge5\sqrt[5]{\dfrac{1}{b^3\left(c+a\right)}.\dfrac{b^3}{2^3}.\dfrac{\left(c+a\right)}{4}}=\dfrac{5}{2}\) (AM-GM cho 5 số) (**)
\(\dfrac{1}{c^3\left(a+b\right)}+\dfrac{c}{2}+\dfrac{c}{2}+\dfrac{c}{2}+\dfrac{a+b}{4}\ge5\sqrt[5]{\dfrac{1}{c^3\left(a+b\right)}.\dfrac{c^3}{2^3}.\dfrac{\left(a+b\right)}{4}}=\dfrac{5}{2}\) (AM-GM cho 5 số) (***)
Cộng (*),(**),(***) vế theo vế ta được:
\(P+\dfrac{3}{2}\left(a+b+c\right)+\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{4}\ge\dfrac{15}{2}\) \(\Leftrightarrow P+2\left(a+b+c\right)\ge\dfrac{15}{2}\)
Mà: \(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}=3\) ( AM-GM 3 số )
Từ đây: \(\Rightarrow P\ge\dfrac{15}{2}-2\left(a+b+c\right)=\dfrac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1
HQ
15 tháng 2 2021
1. \(a^3+b^3+c^3+d^3=2\left(c^3-d^3\right)+c^3+d^3=3c^3-d^3\) :D
H
25 tháng 5 2023
Theo giả thiết kết hợp sử dụng BĐT AM - GM có:
\(\left(a+b-c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{c}\right)=\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)+1-\left[c\left(a+b\right)+c\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\right]\)
\(\le\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)+1-2\sqrt{\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)}=\left[\sqrt{\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)}-1\right]^2\)
Suy ra \(\sqrt{\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)}-1\ge2\Leftrightarrow\sqrt{\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+2}\ge3\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge7\)
Khi đó, sử dụng BĐT Cauchy - Schwarz ta có:
\(\left(a^4+b^4+c^4\right)\left(\dfrac{1}{a^4}+\dfrac{1}{b^4}+\dfrac{1}{c^4}\right)\ge\left[\sqrt{\left(a^4+b^4\right)\left(\dfrac{1}{a^4}+\dfrac{1}{b^4}\right)}+1\right]^2\)
\(=\left(\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{a^2}+1\right)^2=\left[\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\right)^2-1\right]^2\ge\left(7^2-1\right)^2=2304\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(ab=c^2\) và \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}=7\)
25 tháng 5 2023
(a+b-c)(1/a+1/b-c)=(a+b)(1/a+1/b)+1-[c(a+b)+c(1/a+1/b)]<=(a+b)(1/a+1/b)+1-2căn (a+b)(1/a+1/b)
=[(căn (a+b)(1/a+1/b))-1]^2
=>\(\sqrt{\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)}-1>=2\)
=>\(\sqrt{\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+2}>=3\)
=>a/b+b/a>=7
(a^4+b^4+c^4)(1/a^4+1/b^4+1/c^4)>=[căn ((a^4+b^4)(1/a^4+1/b^4))+1]^2
=(a^2/b^2+b^2/a^2+1)^2=[(a/b+b/a)^2-1]^2>=(7^2-1)^2=2304
=>ĐPCM
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
17 tháng 4 2021
Theo nguyên lý Dirichlet, trong 3 số a;b;c luôn có ít nhất 2 số cùng phía so với 1
Không mất tính tổng quát, giả sử đó là a và b
\(\Rightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow ab+1\ge a+b\)
\(\Leftrightarrow2\left(ab+1\right)\ge\left(a+1\right)\left(b+1\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{2}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}\ge\dfrac{2}{2\left(ab+1\right)\left(c+1\right)}=\dfrac{1}{\left(ab+1\right)\left(c+1\right)}=\dfrac{1}{\left(\dfrac{1}{c}+1\right)\left(c+1\right)}=\dfrac{c}{\left(c+1\right)^2}\)
Lại có:
\(\dfrac{1}{\left(\sqrt{ab}.\sqrt{\dfrac{a}{b}}+1.1\right)^2}+\dfrac{1}{\left(\sqrt{ab}.\sqrt{\dfrac{b}{a}}+1\right)^2}\ge\dfrac{1}{\left(ab+1\right)\left(\dfrac{a}{b}+1\right)}+\dfrac{1}{\left(ab+1\right)\left(\dfrac{b}{a}+1\right)}=\dfrac{1}{ab+1}\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{1}{ab+1}+\dfrac{1}{\left(c+1\right)^2}+\dfrac{c}{\left(c+1\right)^2}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{c}+1}+\dfrac{1}{\left(c+1\right)^2}+\dfrac{c}{\left(c+1\right)^2}\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{c}{c+1}+\dfrac{c+1}{\left(c+1\right)^2}=\dfrac{c\left(c+1\right)+c+1}{\left(c+1\right)^2}=\dfrac{\left(c+1\right)^2}{\left(c+1\right)^2}=1\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
23 tháng 1 2021
1) Áp dụng bất đẳng thức AM - GM và bất đẳng thức Schwarz:
\(P=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{\sqrt{ab}}\ge\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{\dfrac{a+b}{2}}\ge\dfrac{4}{a+\dfrac{a+b}{2}}=\dfrac{8}{3a+b}\ge8\).
Đẳng thức xảy ra khi a = b = \(\dfrac{1}{4}\).
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
23 tháng 1 2021
2.
\(4=a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2\Rightarrow a+b\le2\sqrt{2}\)
Đồng thời \(\left(a+b\right)^2\ge a^2+b^2\Rightarrow a+b\ge2\)
\(M\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4\left(a+b+2\right)}=\dfrac{x^2}{4\left(x+2\right)}\) (với \(x=a+b\Rightarrow2\le x\le2\sqrt{2}\) )
\(M\le\dfrac{x^2}{4\left(x+2\right)}-\sqrt{2}+1+\sqrt{2}-1\)
\(M\le\dfrac{\left(2\sqrt{2}-x\right)\left(x+4-2\sqrt{2}\right)}{4\left(x+2\right)}+\sqrt{2}-1\le\sqrt{2}-1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=2\sqrt{2}\) hay \(a=b=\sqrt{2}\)
3. Chia 2 vế giả thiết cho \(x^2y^2\)
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}-\dfrac{1}{xy}\ge\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^2\)
\(\Rightarrow0\le\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\le4\)
\(A=\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}-\dfrac{1}{xy}\right)=\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^2\le16\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)
11 tháng 5 2023
Ta có \(a^4+b^4\ge\dfrac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}\ge\dfrac{\left(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}\right)^2}{2}=\dfrac{\left(a+b\right)^4}{8}\). Áp dụng cho biểu thức A, suy ra \(A\ge\dfrac{\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}+y^2+\dfrac{1}{y^2}+2\right)^4}{8}\). Ta tìm GTNN của \(P=x^2+\dfrac{1}{x^2}+y^2+\dfrac{1}{y^2}+2\). Ta có
\(P=x^2+\dfrac{1}{16x^2}+y^2+\dfrac{1}{16y^2}+\dfrac{15}{16}\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\right)+2\)
\(P\ge2\sqrt{x^2.\dfrac{1}{16x^2}}+2\sqrt{y^2.\dfrac{1}{16y^2}}+\dfrac{15}{16}\left(\dfrac{\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^2}{2}\right)+2\)
\(=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{15}{16}.\left(\dfrac{4^2}{2}\right)+2\) \(=\dfrac{21}{2}\). Do đó \(P\ge\dfrac{21}{2}\) \(\Leftrightarrow A\ge\dfrac{\left(\dfrac{17}{2}+2\right)^4}{8}\). Vậy GTNN của A là \(\dfrac{\left(\dfrac{17}{2}+2\right)^4}{8}\), ĐTXR \(\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{2}\)
1/ BĐT tương đương:
\(a+b+c+36\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge36\)
Ta có:
\(VT\ge3\sqrt[3]{abc}+36.3\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}\ge2\sqrt{3\sqrt[3]{abc}.108\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}}=36\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=6\)
2/ Ko rõ đề là gì?
Vô lý quá bạn, \(x\left(x^2+1\right)+y^2\left(y+1\right)\) đáp ứng điều kiện gì? Là một số chính phương? Bằng bao nhiêu, nhỏ hơn hay lớn hơn bao nhiêu? Chứ 2 số khơi khơi cộng nhau như vậy thì sao thành bài toán bạn ơi?