Question

[đỗ huy]

cho các số thực x,y khác 0 thỏa mãn điều kiện x² + y² =1 

tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức  P =  \(\frac{2x^2+12xy}{1+2xy+2y^2}\) 

Answer 1

[zZz Cool Kid_new zZz]

sol của tớ :3

Nếu y=0 thì x²=1 => P=2

Nếu y\(\ne\)0 .Đặt \(t=\frac{x}{y}\)

\(P=\frac{2\left(x^2+6xy\right)}{1+2xy+2y^2}=\frac{2\left(x^2+6xy\right)}{x^2+2xy+3y^2}=\frac{2\left[\left(\frac{x}{y}\right)^2+6\cdot\frac{x}{y}\right]}{\left(\frac{x}{y}\right)^2+2\frac{x}{y}+3}=\frac{2\left(t^2+6t\right)}{t^2+2t+3}\)

\(\Rightarrow P.t^2+2P\cdot t+3P=2t^2+12t\)

\(\Leftrightarrow t^2\left(P-2\right)+2t\left(P-6\right)+3P=0\)

Xét \(\Delta'=\left(P-2\right)^2-3P\left(P-6\right)=-2P^2-6P+36\ge0\)

\(\Leftrightarrow-6\le P\le3\)

Dấu bằng xảy ra khi:

Max:\(x=\frac{3}{\sqrt{10}};y=\frac{1}{\sqrt{10}}\left(h\right)x=\frac{3}{-\sqrt{10}};y=\frac{1}{-\sqrt{10}}\)

Min:\(x=\frac{3}{\sqrt{13}};y=-\frac{2}{\sqrt{13}}\left(h\right)x=-\frac{3}{\sqrt{13}};y=\frac{2}{\sqrt{13}}\)

Answer 2

[Ran]

khó ha