Tìm các số nguyên dương x,y thoả mãn x^3+y^3-3xy+1 là số nguyên tố
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
PT
3
12 tháng 8 2020
VÌ: \(x^3+y^3+1-3xy=\left(x+y+1\right)\left(x^2+y^2+1-xy-x-y\right)\)
Do: \(x^3+y^3+1-3xy\) là 1 số nguyên tố
=> \(\left(x+y+1\right)\left(x^2+y^2+1-xy-x-y\right)\) là 1 số nguyên tố.
Do: \(x+y+1>1\left(x,y\inℕ^∗\right)\)
=> \(x^2+y^2-xy-x-y+1=1\)
<=> \(2x^2+2y^2-2xy-2x-2y+2=2\)
<=> \(\left(x-y\right)^2+\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2=2\)
Do: \(\left(x-y\right)^2;\left(x-1\right)^2;\left(y-1\right)^2\) đều là các số chính phương.
=> Ta xét 3 trường hợp sau:
\(\hept{\begin{cases}\left(x-y\right)^2=0\\\left(x-1\right)^2=1\\\left(y-1\right)^2=1\end{cases}}\) ; \(\hept{\begin{cases}\left(x-y\right)^2=1\\\left(x-1\right)^2=0\\\left(y-1\right)^2=1\end{cases}}\) ; \(\hept{\begin{cases}\left(x-y\right)^2=1\\\left(x-1\right)^2=1\\\left(y-1\right)^2=0\end{cases}}\)
Do: x; y thuộc N*
=> vs TH1 được: \(x=y=2\)
THỬ LẠI THÌ: \(x^3+y^3+1-3xy=8+8+1-12=5\) (CHỌN)
TH2; TH3 tương tự ra \(x=1;y=2\) và \(x=2;y=1\)
THỬ LẠI \(\orbr{\begin{cases}x^3+y^3+1-3xy=1^3+2^3+1-3.1.2=4\\x^3+y^3+1-3xy=2^3+1^3+1-3.2.1=4\end{cases}}\) (ĐỀU LOẠI HẾT).
VẬY \(x=y=2\) là nghiệm duy nhất.
BM
2
22 tháng 11 2019
\(x^2+2y^2-3xy+2x-4y+3=0\)
\(\Leftrightarrow4x^2+8y^2-12xy+8x-16y+12=0\)
\(\Leftrightarrow\left(4x^2-12xy+9y^2\right)-y^2+8x-16y+12=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2x-3y\right)^2+4\left(2x-3y\right)+4-\left(y^2-4y+4\right)+6=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2x-3y+2\right)^2-\left(y-2\right)^2+6=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2x-3y+2-y+2\right)\left(2x-3y+2+y-2\right)=-6\)
\(\Leftrightarrow\left(2x-4y+4\right)\left(2x-2y\right)=-6\)
\(\Leftrightarrow\left(x-2y+2\right)\left(x-y\right)=-\frac{3}{2}\)
Đến đây ta thấy vô lý
P/S:is that true ?
TA
0
TA
1
B
10 tháng 8 2023
Vì 12p ⋮ 3 nên x²-3xy+p²y² ⋮ 3 mà -3xy ⋮ 3 nên x²+p²y² ⋮ 3 kết hợp với tính chất 1 số chính phương chỉ chia 3 dư 0 hoặc 1 nên nếu tổng 2 chính phương ⋮ 3 thì cả 2 số⋮ 3. Từ đó x² và p²y² mà đây là 2 bình phương và 3 là số nguyên tố nên x² và p²y² ⋮ 9. Vì x2⋮ 9 nên x ⋮ 3 từ đó 3xy ⋮cho 9. Qua đó x²-3xy+p²y² ⋮ 9. Ta có 12p= 4.3p mà (4,9)=1 nên 3p ⋮ 9 từ đó p ⋮ 3 mà p là số nguyên tố nên p = 3.
=> x²-3xy+p²y² =12p <=> x²-3xy+9y² =36 áp dụng bất đẳng thức Cô si x2+y2 ≥ 2xy với mọi x,y => x²+9y²≥2.x.3y=6xy => 36≥6xy-3xy=3xy =>12≥xy mà x,y là số nguyên dương nên x.y ≥1 nên 12≥xy≥x.1=x
Ta có x²+(-3xy)+9y² chẵn mà đây là tổng 3 số nguyên nên tồn tại 1 số chẵn
nếu x chẵn => x²+(-3xy) chẵn => 9y² chẵn mà (9,2)=1 nên y chẵn ta cmtt với y. Từ đó suy ra cả x và y đều chẵn, kết hợp với 12≥x,x⋮3 và x nguyên dương => x∈{6,12} thay x vào x²-3xy+9y² =36 ta tìm được các cặp (x,y) là (6,0);(6,2);(12,6)
Vậy các cặp (x,y,p) cần tìm là (6,0,3);(6,2,3);(12,6,3)
NQ
0
V
1
