Xét: \(\dfrac{c}{a-b}.\left(\dfrac{a-b}{c} \dfrac{b-c}{a} \dfrac{c-a}{b}\right)=1 \dfrac{c}{a-b}\left(\dfrac{b-c}{a} \dfrac{c-a}{b}\right)=1 \dfrac{c}{a-b}.\dfrac{b^2-bc ac-a^2}{ab}=1 \dfrac{c}{a-b}....

$1,Cho.a,b,c\ge1.CMR:\left(a-\dfrac{1}{b}\right)\left(b-\dfrac{1}{c}\right)\left(c-\dfrac{1}{a}\right)\ge\left(a-\dfrac{1}{a}\right)\left(b-\dfrac{1}{b}\right)\left(c-\dfrac{1}{c}\right)$

2, Cho a,b,c>0.CMR:

$\dfrac{a+b}{bc+a^2}+\dfrac{b+c}{ac+b^2}+\dfrac{c+a}{ab+c^2}\le\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$

#Toán lớp 8

2

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

5 tháng 4 2022

1.

BĐT cần chứng minh tương đương:

$\left(ab-1\right)\left(bc-1\right)\left(ca-1\right)\ge\left(a^2-1\right)\left(b^2-1\right)\left(c^2-1\right)$

Ta có:

$\left(ab-1\right)^2=a^2b^2-2ab+1=a^2b^2-a^2-b^2+1+a^2+b^2-2ab$

$=\left(a^2-1\right)\left(b^2-1\right)+\left(a-b\right)^2\ge\left(a^2-1\right)\left(b^2-1\right)$

Tương tự: $\left(bc-1\right)^2\ge\left(b^2-1\right)\left(c^2-1\right)$

$\left(ca-1\right)^2\ge\left(c^2-1\right)\left(a^2-1\right)$

Do $a;b;c\ge1$ nên 2 vế của các BĐT trên đều không âm, nhân vế với vế:

$\left[\left(ab-1\right)\left(bc-1\right)\left(ca-1\right)\right]^2\ge\left[\left(a^2-1\right)\left(b^2-1\right)\left(c^2-1\right)\right]^2$

$\Rightarrow\left(ab-1\right)\left(bc-1\right)\left(ca-1\right)\ge\left(a^2-1\right)\left(b^2-1\right)\left(c^2-1\right)$ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$

Câu 2 em kiểm tra lại đề có chính xác chưa

Đúng(5)

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

5 tháng 4 2022

2.

Câu 2 đề thế này cũng làm được nhưng khá xấu, mình nghĩ là không thể chứng minh bằng Cauchy-Schwaz được, phải chứng minh bằng SOS

Không mất tính tổng quát, giả sử $c=max\left\{a;b;c\right\}$

$\Rightarrow\left(c-a\right)\left(c-b\right)\ge0$ (1)

BĐT cần chứng minh tương đương:

$\dfrac{1}{a}-\dfrac{a+b}{bc+a^2}+\dfrac{1}{b}-\dfrac{b+c}{ac+b^2}+\dfrac{1}{c}-\dfrac{c+a}{ab+c^2}\ge0$

$\Leftrightarrow\dfrac{b\left(c-a\right)}{a^3+abc}+\dfrac{c\left(a-b\right)}{b^3+abc}+\dfrac{a\left(b-c\right)}{c^3+abc}\ge0$

$\Leftrightarrow\dfrac{c\left(b-a\right)+a\left(c-b\right)}{a^3+abc}+\dfrac{c\left(a-b\right)}{b^3+abc}+\dfrac{a\left(b-c\right)}{c^3+abc}\ge0$

$\Leftrightarrow c\left(b-a\right)\left(\dfrac{1}{a^3+abc}-\dfrac{1}{b^3+abc}\right)+a\left(c-b\right)\left(\dfrac{1}{a^3+abc}-\dfrac{1}{c^3+abc}\right)\ge0$

$\Leftrightarrow\dfrac{c\left(b-a\right)\left(b^3-a^3\right)}{\left(a^3+abc\right)\left(b^3+abc\right)}+\dfrac{a\left(c-b\right)\left(c^3-a^3\right)}{\left(a^3+abc\right)\left(c^3+abc\right)}\ge0$

$\Leftrightarrow\dfrac{c\left(b-a\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)}{\left(a^3+abc\right)\left(b^3+abc\right)}+\dfrac{a\left(c-b\right)\left(c-a\right)\left(a^2+ac+c^2\right)}{\left(a^3+abc\right)\left(c^3+abc\right)}\ge0$

Đúng theo (1)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$

Đúng(3)

LL

Linh Lê

30 tháng 1 2018

Thực hiện phép tính: 1) $A=\dfrac{1}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\dfrac{1}{\left(b-a\right)\left(b-c\right)}+\dfrac{1}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}$ 2) $B=\dfrac{1}{a\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\dfrac{1}{b\left(b-a\right)\left(b-c\right)}+\dfrac{1}{c\left(c-a\right)\left(c-b\right)}$ 3, $C=\dfrac{bc}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\dfrac{ac}{\left(b-a\right)\left(b-c\right)}+\dfrac{ab}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}$ 4)...

Đọc tiếp

#Toán lớp 8

1

TK

Tiến Khu

23 tháng 12 2018

1)$\dfrac{c-b}{\left(a-b\right)\left(c-b\right)\left(a-c\right)}+\dfrac{a-c}{\left(b-a\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)}+\dfrac{b-a}{\left(b-a\right)\left(c-b\right)\left(c-a\right)}=\dfrac{c-b+a-c+b-c}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=0$

Đúng(0)

PL

Phạm Lợi

3 tháng 1 2019

1)cho a,b,c >0. $cmr:\dfrac{1}{a^2+bc}+\dfrac{1}{b^2+ca}+\dfrac{1}{c^2+ab}\le\dfrac{a+b+c}{2abc}$ 2) cho a,b,c>0 và a+b+c=1. $cmr:\left(1+\dfrac{1}{a}\right)\left(1+\dfrac{1}{b}\right)\left(1+\dfrac{1}{c}\right)\ge64$ 3) cho a,b,c>0. $cme:\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}\ge\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}$ 4) cho a,b,c>0 .$cmr:\dfrac{a^3}{b^3}+\dfrac{b^3}{c^3}+\dfrac{c^3}{a^3}\ge\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}$ 5)cho a,b,c>0. cmr:...

Đọc tiếp

#Toán lớp 10

7

DB

đề bài khó wá

3 tháng 1 2019

3/ Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có :

$\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}\ge2\sqrt{\dfrac{\left(ab\right)^2}{\left(bc\right)^2}}=\dfrac{2a}{c}$

$\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}\ge2\sqrt{\dfrac{\left(bc\right)^2}{\left(ac\right)^2}}=\dfrac{2b}{a}$

$\dfrac{c^2}{a^2}+\dfrac{a^2}{b^2}\ge2\sqrt{\dfrac{\left(ac\right)^2}{\left(ab\right)^2}}=\dfrac{2c}{b}$

Cộng 3 vế của BĐT trên ta có :

$2\left(\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}\right)\ge2\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\right)$

$\Leftrightarrow\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}\ge\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\left(\text{đpcm}\right)$

Đúng(0)

AH

Akai Haruma

Giáo viên

4 tháng 1 2019

Bài 1:

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

$\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ac}+\frac{1}{c^2+ab}\leq \frac{1}{2\sqrt{a^2.bc}}+\frac{1}{2\sqrt{b^2.ac}}+\frac{1}{2\sqrt{c^2.ab}}=\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}}{2abc}$

Tiếp tục áp dụng BĐT AM-GM:

$\sqrt{bc}+\sqrt{ac}+\sqrt{ab}\leq \frac{b+c}{2}+\frac{c+a}{2}+\frac{a+b}{2}=a+b+c$

Do đó:

$\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ac}+\frac{1}{c^2+ab}\leq \frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2abc}\leq \frac{a+b+c}{2abc}$ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$

Đúng(1)

PD

Phan Đình Trường

23 tháng 6 2017

Cho a,b,c khác 0 thỏa mãn $\left(1+\dfrac{b}{a}\right)\left(1+\dfrac{c}{b}\right)\left(1+\dfrac{a}{c}\right)=8$

CMR $\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}=\dfrac{3}{4}+\dfrac{ab}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+\dfrac{bc}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}+\dfrac{ca}{\left(c+a\right)\left(a+b\right)}$

#Toán lớp 8

2

TB

Thiên Băng

24 tháng 6 2017

$\left(1+\dfrac{b}{a}\right)\left(1+\dfrac{c}{b}\right)\left(1+\dfrac{a}{c}\right)=8$

$\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{a}\times\dfrac{b+c}{b}\times\dfrac{a+c}{c}=8$

$\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)=8abc$

~*~*~*~*~

$\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{a+c}$

$=\dfrac{3}{4}+\dfrac{ab}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+\dfrac{bc}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}+\dfrac{ac}{\left(c+a\right)\left(a+b\right)}$ (1)

$\Leftrightarrow\dfrac{a}{a+b}-\dfrac{ab}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+\dfrac{b}{b+c}-\dfrac{bc}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}+\dfrac{c}{c+a}-\dfrac{ac}{\left(c+a\right)\left(a+b\right)}$

$=\dfrac{3}{4}$

$\Leftrightarrow\dfrac{a}{a+b}\left(1-\dfrac{b}{b+c}\right)+\dfrac{b}{b+c}\left(1-\dfrac{c}{c+a}\right)+\dfrac{c}{a+c}\left(1-\dfrac{a}{a+b}\right)$

$=\dfrac{3}{4}$

$\Leftrightarrow\dfrac{a}{a+b}\times\dfrac{c}{b+c}+\dfrac{b}{b+c}\times\dfrac{a}{a+c}+\dfrac{c}{a+c}\times\dfrac{b}{a+b}$

$=\dfrac{3}{4}$

$\Leftrightarrow\dfrac{ac\left(a+c\right)+ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)\left(a+b\right)}=\dfrac{3}{4}$

$\Leftrightarrow ac\left(a+c\right)+ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)=\dfrac{3}{4}\times8abc$

$\Leftrightarrow ac\left(a+c\right)+ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+2abc=8abc$

$\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)=8abc$ luôn đúng

=> (1) đúng

Đúng(0)

TB

Thiên Băng

24 tháng 6 2017

Bạn cũng có thể giải bằng cách đặt $x=\dfrac{a}{a+b};y=\dfrac{b}{b+c};z=\dfrac{c}{a+c}$.

Đúng(0)

NT

Ngô Thành Chung

10 tháng 2 2021

Cho 3 số dương a,b,c

CMR : $\dfrac{1}{\left(a+b\right)^2}+\dfrac{1}{\left(b+c\right)^2}+\dfrac{1}{\left(a+c\right)^2}\ge\dfrac{9}{4\left(ab+ac+bc\right)}$

#Toán lớp 10

1

AH

Akai Haruma

Giáo viên

17 tháng 2 2021

Đây là BĐT Iran 96 khá nổi tiếng. Bạn hoàn toàn có thể search trên google lời giải.

Đúng(0)

NT

Ngô Thành Chung

17 tháng 2 2021

Nó nổi tiếng mà sao e lại ko biết

Đúng(0)

N

noname

13 tháng 5 2017

Chứng minh

$\dfrac{\left(a-b\right)^2}{ab}+\dfrac{\left(b-c\right)^2}{bc}+\dfrac{\left(c-a\right)^2}{ca}=\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)$

#Toán lớp 8

1

N

ngonhuminh

14 tháng 5 2017

$A=\dfrac{\left(a-b\right)^2}{ab}+\dfrac{\left(b-c\right)^2}{bc}+\dfrac{\left(c-a\right)^2}{ca}$

$B=\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)$

..................................

$A=\dfrac{a^2+b^2-2ab}{ab}+\dfrac{b^2-2ab+c^2}{bc}+c^2+a^2-\dfrac{2ca}{ca}$

$A=\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}-2\right)+\left(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}-2\right)+\left(\dfrac{c}{a}+\dfrac{a}{c}-2\right)=\dfrac{\left(b+c\right)}{a}+\dfrac{a+c}{b}+\dfrac{a+b}{c}-6$

$A=\left[\dfrac{\left(b+c\right)}{a}+1\right]+\left[\dfrac{\left(a+c\right)}{b}+1\right]+\left[\dfrac{\left(a+b\right)}{c}+1\right]-9$

$A=\dfrac{\left(a+b+c\right)}{a}+\dfrac{\left(a+b+c\right)}{b}+\left[\dfrac{\left(a+b+c\right)}{c}\right]-9$

$A=\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)-9$

Ket luan

$A\ne B$ => đề sai--> hoặc mình công trừ sai

Đúng(0)

N

noname

16 tháng 5 2017

bạn đúng bạn đúng là mình chép sai à cảm ơn nhiều

Đúng(0)

PA

Phan Anhh

22 tháng 11 2018

Cho a + b + c = 1 (a,b,c khác 1,2). Chứng minh

$\dfrac{c+ab}{a^2+b^2+abc-1}+\dfrac{a+bc}{b^2+c^2+abc-1}+\dfrac{b+ac}{a^2+c^2+abc-1}=\dfrac{bc+ac+ab+8}{\left(a-2\right)\left(b-2\right)\left(a-2\right)}$

#Toán lớp 8

2

AH

Akai Haruma

Giáo viên

23 tháng 11 2018

Lời giải:

Vì $a+b+c=1$ nên:

$a^2+b^2+abc-1=(a+b)^2-2ab+abc-1$

$=(a+b)^2-1+ab(c-2)=(1-c)^2-1+ab(c-2)$

$=-c(2-c)+ab(c-2)=c(c-2)+ab(c-2)=(c+ab)(c-2)$

Do đó:

$\frac{c+ab}{a^2+b^2+abc-1}=\frac{c+ab}{(c+ab)(c-2)}=\frac{1}{c-2}$

Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại, suy ra:

$\frac{c+ab}{a^2+b^2+abc-1}+\frac{a+bc}{b^2+c^2+abc-1}+\frac{b+ac}{a^2+c^2+abc-1}=\frac{1}{c-2}+\frac{1}{a-2}+\frac{1}{b-2}=\frac{(a-2)(b-2)+(b-2)(c-2)+(c-2)(a-2)}{(a-2)(b-2)(c-2)}$

$=\frac{ab+bc+ac-4(a+b+c)+12}{(a-2)(b-2)(c-2)}=\frac{ab+bc+ac+8}{(a-2)(b-2)(c-2)}$

Ta có đpcm.

Đúng(0)

PA

Phan Anhh

22 tháng 11 2018

Akai Haruma

Đúng(0)

PT

phạm thảo

17 tháng 5 2018

Câu hỏi hay

cho a,b,c là số thực dương. Cmr:

1.$\dfrac{a}{b^2+bc+c^2}+\dfrac{b}{c^2+ca+a^2}+\dfrac{c}{a^2+ab+b^2}\ge\dfrac{a+b+c}{ab+bc+ca}$

2.$\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{a}{\left(b+c\right)^2}+\dfrac{b}{\left(c+a\right)^2}+\dfrac{c}{\left(a+b\right)^2}\right)\ge\dfrac{9}{4}$

#Toán lớp 10

2

KK

Kuro Kazuya

17 tháng 5 2018

Bài 1

$VT=\dfrac{a^2}{ab^2+abc+ac^2}+\dfrac{b^2}{c^2b+abc+a^2b}+\dfrac{c^2}{a^2c+abc+b^2c}$

Áp dụng bđt Cauchy dạng phân thức

$\Rightarrow VT\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{ab\left(a+b\right)+abc+ac\left(a+c\right)+abc+bc\left(b+c\right)+abc}$

$\Leftrightarrow VT\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{ab\left(a+b+c\right)+ac\left(a+b+c\right)+bc\left(a+b+c\right)}=\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ac\right)}$

$\Leftrightarrow VT\ge\dfrac{a+b+c}{ab+bc+ac}\left(đpcm\right)$

Dấu ''='' xảy ra khi $a=b=c$

Đúng(0)

KK

Kuro Kazuya

17 tháng 5 2018

Bài 2

$VT=\left(\sqrt{a^2}+\sqrt{b^2}+\sqrt{c^2}\right)\left[\left(\dfrac{\sqrt{a}}{b+c}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{b}}{c+a}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{c}}{a+b}\right)^2\right]$

Áp dụng bđt Bunhiacopxki ta có

$VT\ge\left(\sqrt{a}.\dfrac{\sqrt{a}}{b+c}+\sqrt{b}.\dfrac{\sqrt{b}}{c+a}+\sqrt{c}.\dfrac{\sqrt{c}}{a+b}\right)^2$

$\Leftrightarrow VT\ge\left(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\right)^2$

Xét $\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}$

Áp dụng bđt Cauchy dạng phân thức ta có

$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}=\dfrac{a^2}{ab+ac}+\dfrac{b^2}{bc+ab}+\dfrac{c^2}{ca+bc}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ac\right)}=\dfrac{3\left(ab+bc+ca\right)}{2\left(ab+bc+ac\right)}=\dfrac{3}{2}$

$\Rightarrow\left(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\right)^2\ge\left(\dfrac{3}{2}\right)^2=\dfrac{9}{4}$

$\Rightarrow VT\ge\dfrac{9}{4}\left(đpcm\right)$

Dấu '' = '' xảy ra khi $a=b=c$

Đúng(0)

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP