Cho A = \(2\left(1^{2015}+2^{2015}+3^{2015}+...+n^{2015}\right)\). Biết n là số nguyên dương.
Chứng minh: A chia hết cho n(n+1)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
TH1: $n$ chẵn
Theo hằng đẳng thức đáng nhớ, với $2015$ lẻ và 2 số $a,b$ nguyên dương bất kỳ thì thì:\(a^{2015}+b^{2015}\vdots a+b\)
Áp dụng vào bài toán:
\(1^{2015}+n^{2015}\vdots n+1\)
\(2^{2015}+(n-1)^{2015}\vdots n+1\)
....
\(\left(\frac{n}{2}\right)^{2015}+\left(\frac{n}{2}+1\right)^{2015}\vdots n+1\)
\(\Rightarrow 1^{2015}+2^{2015}+...+n^{2015}\vdots n+1\)
\(\Rightarrow A=2(1^{2015}+2^{2015}+...+n^{2015})\vdots n+1\)
------------
Mặt khác, ta cũng có:
\(2[1^{2015}+(n-1)^{2015}]\vdots n\)
\([2^{2015}+(n-2)^{2015}]\vdots n\)
......
\(2\left(\frac{n}{2}\right)^{2015}=2\left(\frac{2k}{2}\right)^{2015}=2k^{2015}=\vdots (2k=n)\)
\(\Rightarrow 2(1^{2015}+2^{2015}+...+(n-1)^{2015})\vdots n\)
\(\Rightarrow A=2(1^{2015}+2^{2015}+...+(n-1)^{2015}+n^{2015})\vdots n\)
Vậy $A\vdots n$ và $A\vdots (n+1)$. Mà $(n,n+1)=1$ nên $A\vdots n(n+1)$
TH2: $n$ lẻ
Hoàn toàn tương tự, ghép cặp hợp lý ta cũng thu được $A\vdots n(n+1)$
Vậy ta có đpcm.
2015n-1; 2015n; 2015n+1 là 3 số tự nhiên liên tiếp
=>có một số chia hết cho 3
mà 2015n ko chia hết cho 3 (vì 2015 ko chia hết cho 3)
=> trong 2 số 2015n-1 và 2015n+1 phải có 1 số chia hết cho 3
sử dụng tính chất \(a^n+b^n⋮\left(a+b\right)\)vs n lẻ