Cho tứ giác ABCD. Gọi A',B',C',D' lần lượt là trọng tâm của các tam giác BCD,ACD,ABD,ABC. Chứng minh AA',BB',CC',DD' đồng quy
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của AC' và CA'.
CC' giao MN tại I
Xét tam giác AC'C. P là trung điểm AC', M là trung điểm của AC
=> PM là đường trung bình tam giác AC'C => PM//CC'
hay C'I//PM
C' là trọng tâm tam giác ABD => C'N=AN/3.(T/c trọng tâm)
Mà P là trung điểm AC' => C' là trung điểm PN.
Xét tam giác PNM: C' là trung điểm PN, C'I//PM => I là trung điểm của MN
=> CC' đi qua trung điểm của MN (1)
Tương tự ta chứng minh được AA' đi qua trung điểm MN (2)
Tương tự xét trong tam giác DMB: BB' và DD' cùng đi qua trung điểm I của MN (3)
Từ (1),(2) và (3) => AA';BB';CC';DD',MN đồng quy (đpcm).
Bn ơi!
Chứng minh AA' đi qua trung điểm MN làm cách nào vậy ạ!
vi met phut o lech san bech]
ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff,
gggggggggggggg,f,,,,,,,,,,,,,,,,
Gọi E,FE,F lần lượt là trung điểm của cạnh BD;ACBD;AC; HH trung điểm CA′CA′ và II là giao điểm của EFEF và AA′AA′
▹▹ Xét tam giác CA′ACA′A Có FHFH là đường trung bình nên AA′//FHAA′//FH ⇒A′I//FH⇒A′I//FH
▹▹ Xét tam giác EHFEHF có A′I//FHA′I//FH và A′A′ trung điểm EHEH nên suy ra II trung điểm EFEF
Suy ra AA′AA′ đi qua trung điểm II của EFEF cố định.
▹▹ Chứng minh tương tự ta cũng có BB′;CC′;DD′BB′;CC′;DD′ đi qua II
Vậy 4 đoạn thẳng AA′;BB′;CC′;DD′AA′;BB′;CC′;DD′ đồng quy tại một điểm
a) G là trọng tâm của ABCD <=> vtGA + vtGB + vtGC + vtGD = vt0 (1*)
A' là trọng tâm của BCD <=> vtA'B + vtA'C + vtA'D = vt0
<=> 3.vtA'G + vtGB + vtGC + vtGD = vt0 (2*) (chen điểm G vào biểu thức trên)
lấy (1*) - (2*): vtGA - 3.vtA'G = vt0 <=> vtGA = 3.vtA'G
đẳng thức này chứng tỏ vtGA và vtA'G cùng hướng => G nằm trên đoạn AA'
tương tự có B' là trọng tâm của ACD <=> 3.vtB'G + vtGA + vtGC + vtGD = vt0 (3*)
lấy (1*) - (3*): vtGB - 3vtB'G = vt0 <=> vtGB = 3vtB'G
=> G nằm trên đoạn BB'
tiếp tục cho 2 phần còn lại
=> G là điểm chung của các đoạn AA', BB', CC', DD'
b) từ biểu thức trên có: vtGA = -3.vtGA'
=> G chia đoạn AA' theo tỉ số k = -3
các đoạn kia tương tự đều cùng tỉ số k = -3
c) từ cm trên ta có:
vtGA = -3vtGA'
vtGB = -3vtGB'
vtGC = -3vtGC'
vtGD = -3vtGD'
=> vtGA+vtGB+vtGC+vtGD+vtGD = -3(vtGA'+vtGB'+vtGC'+vtGD') (**)
mà G là trọng tâm của ABCD nên vtGA+vtGB+vtGC+vtGD = vt0
(**) => vtGA'+vtGB'+vtGC'+vtGD' = vt0 => G là trọng tâm của A'B'C'D'