Cho a,b>0 và a+b=4
Tìm GTNN của \(\frac{1}{a^2+b^2}\)+\(\frac{5}{ab}\)+ab
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AH
Akai Haruma
Giáo viên
27 tháng 7
Lời gải:
Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz và BĐT AM-GM:
$M=\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+ab}+\frac{1}{b^2+ab}+\frac{1}{a^2+b^2}$
$\geq \frac{(1+1+1+1+1)^2}{2ab+2ab+a^2+ab+b^2+ab+a^2+b^2}=\frac{25}{2a^2+2b^2+6ab}$
$=\frac{25}{2(a^2+b^2+2ab)+2ab}$
$=\frac{25}{2(a+b)^2+2ab}=\frac{25}{2+2ab}\geq \frac{25}{2+2.\frac{(a+b)^2}{4}}=\frac{25}{2+\frac{2}{4}}=10$
Vậy $M_{\min}=10$. Giá trị này đạt tại $a=b=\frac{1}{2}$
TT
0
KT
2
NN
18 tháng 10 2020
\(C=\frac{1}{ab}+\frac{1}{a^2+b^2}=\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}\)
Vì \(a,b>0\)\(\Rightarrow\) Áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu ta có:
\(\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}\ge\frac{4}{a^2+b^2+2ab}=\frac{4}{\left(a+b\right)^2}=\frac{4}{1}=4\)
Vì \(a,b>0\)\(\Rightarrow\)Áp dụng bđt Cô si ta có: \(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(\Rightarrow2\sqrt{ab}\le1\)\(\Rightarrow\left(2\sqrt{ab}\right)^2\le1\)
\(\Leftrightarrow4ab\le1\)\(\Leftrightarrow2ab\le\frac{1}{2}\)\(\Rightarrow\frac{1}{2ab}\ge2\)
\(\Rightarrow C=\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}\ge4+2=6\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y\\x+y=1\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)
Vậy \(minC=6\)\(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)
PN
18 tháng 10 2020
bài này đã có rất nhiều bạn hỏi rồi
Ta có hai bất đẳng thức phụ quen thuộc sau : \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)(*) ; \(2xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\)(**)
BĐT(*) \(< =>\frac{x+y}{xy}\ge\frac{4}{x+y}< =>x^2+2xy+y^2\ge4xy< =>\left(x-y\right)^2\ge0\)(đúng)
BĐT(**)\(< =>x^2+2xy+y^2\ge4xy< =>\left(x-y\right)^2\ge0\)(đúng
Lại có \(C=\frac{1}{ab}+\frac{1}{a^2+b^2}=\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}\)
Sử dụng bất đẳng thức phụ (*) : \(C\ge\frac{1}{2ab}+\frac{4}{a^2+2ab+b^2}=\frac{1}{2ab}+\frac{4}{\left(a+b\right)^2}=\frac{1}{2ab}+4\)
Sử dụng bất đẳng thức phụ (**) : \(\frac{1}{2ab}+4\ge\frac{1}{\frac{\left(a+b\right)^2}{2}}+4=2+4=6\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
Vậy GTNN của C = 6 đạt được khi a = b = 1/2
PN
8 tháng 8 2020
đây là 1 sự nhầm lẫn đối với các bạn nhác tìm dấu = :))
Sử dụng BĐT Svacxo ta có :
\(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\ge\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{ab+bc+ca}\)
\(=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{18}{2ab+2bc+2ca}\ge\frac{\left(1+\sqrt{18}\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}\)
\(=\frac{19+\sqrt{72}}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{25\sqrt{2}}{1}=25\sqrt{2}\)
bài làm của e :
Áp dụng BĐT Svacxo ta có :
\(Q\ge\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{ab+bc+ca}=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{7}{ab+bc+ca}\)
Theo hệ quả của AM-GM thì : \(ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\frac{1}{3}\)
\(< =>\frac{7}{ab+bc+ca}\ge\frac{7}{\frac{1}{3}}=21\)
Tiếp tục sử dụng Svacxo thì ta được :
\(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{7}{ab+bc+ca}\ge\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}+21=30\)
Vậy \(Min_P=30\)đạt được khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
T
8 tháng 8 2020
Và đương nhiên cách bạn dcv_new chỉ đúng với \(k\ge2\) ở bài:
https://olm.vn/hoi-dap/detail/259605114604.html
Thực ra bài Min \(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{ab+bc+ca}\) khi a + b + c = 1
chỉ là hệ quả của bài \(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{k}{ab+bc+ca}\) khi \(a+b+c\le1\)
Ngoài ra nếu \(k< 2\) thì min là: \(\left(1+\sqrt{2k}\right)^2\)
TN
6
1 tháng 12 2017
Có : a^2+b^2 >= 2ab
Biểu thức trên = (a^2+b^2/4ab+ab/a^2+b^2)+3/4 (a^2+b^2/ab)
>= 2\(\sqrt{\frac{a^2+b^2}{4ab}.\frac{ab}{a^2+b^2}}\)+ 3/4 . 2 = 2.1/2+3/2 = 1+3/2 = 5/2
Dấu "=" xảy ra <=> a=b>0
Vậy GTNN của biểu thức trên = 5/2 <=> a=b > 0
k mk nha
T
7 tháng 1 2020
4/ Xét hiệu: \(P-2\left(ab+7bc+ca\right)\)
\(=5a^2+11b^2+5c^2-2\left(ab+7bc+ca\right)\)
\(=\frac{\left(5a-b-c\right)^2+6\left(3b-2c\right)^2}{5}\ge0\)
Vì vậy: \(P\ge2\left(ab+7bc+ca\right)=2.188=376\)
Đẳng thức xảy ra khi ...(anh giải nốt ạ)
T
7 tháng 1 2020
@Cool Kid:
Bài 5: Bản chất của bài này là tìm k (nhỏ nhất hay lớn nhất gì đó, mình nhớ không rõ nhưng đại khái là chọn k) sao cho: \(5a^2+11b^2+5c^2\ge k\left(ab+7bc+ca\right)\)
Rồi đó, chuyển vế, viết lại dưới dạng tam thức bậc 2 biến a, b, c gì cũng được rồi tự làm đi:)
NM
Nguyễn Minh Quang
Giáo viên
9 tháng 8 2021
ta có \(4=2a^2+\frac{b^2}{4}+\frac{1}{a^2}=a^2+a^2+\frac{b^2}{4}+\frac{1}{a^2}\ge4\sqrt[4]{\frac{a^2.a^2.b^2}{4a^2}}\)
Vậy\(\sqrt[4]{\frac{a^2b^2}{4}}\le1\Leftrightarrow a^2b^2\le4\Leftrightarrow-2\le ab\le2\)
Vậy \(2007\le ab+2009\le2011\)
Chứng minh bđt phụ: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\) (1)
Ta có:\(\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)( luôn đúng với mọi \(a,b>0\))
Đặt \(A=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{5}{ab}+ab\)
\(\Rightarrow A=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}+\frac{9}{2ab}+ab\)
Áp dụng bđt (1) ta được: \(\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}\ge\frac{4}{a^2+b^2+2ab}=\frac{4}{\left(a+b\right)^2}=\frac{4}{4^2}=\frac{1}{4}\)
Áp dụng bđt Cô-si với \(\frac{9}{2ab}+ab\)ta được: \(\frac{9}{2ab}+ab\ge2\sqrt{\frac{9}{2ab}.ab}=2.\sqrt{\frac{9}{2}}=\sqrt{4.\frac{9}{2}}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow A\ge\frac{1}{4}+3\sqrt{2}\)
Vậy \(minA=3\sqrt{2}+\frac{1}{4}\)