Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh 1 tam giác. CMR:a/(b+c-a)+b/(a+c-b)+c/(a+b-c)>=3
Hãy phân tích cho vì sao từ việc đặt x,y,z lại suy ra đc a,b , c
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
S
6 tháng 8 2018
Đặt b+c-a=x,c+a-b=y,a+b-c=z (x,y,z>0 vì a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác)
Ta có: \(x+y=b+c-a+c+a-b=2c\Rightarrow c=\frac{x+y}{2}\)
Tương tự: \(a=\frac{y+z}{2};b=\frac{z+x}{2}\)
Do đó: \(VT=\frac{\frac{y+z}{2}}{x}+\frac{\frac{z+x}{2}}{y}+\frac{\frac{x+y}{2}}{z}=\frac{y+z}{2x}+\frac{z+x}{2y}+\frac{x+y}{2z}\)
\(\Leftrightarrow2VT=\frac{y+z}{x}+\frac{z+x}{y}+\frac{x+y}{z}=\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)+\left(\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\right)\ge2+2+2=6\) (áp dụng BĐT m/n+n/m >= 2)
\(\Leftrightarrow VT\ge3=VP\)
Dấu "=" xảy ra <=> x=y=z <=> a=b=c
P/s: đây là phương pháp đặt ẩn nhé
D
31 tháng 8 2018
Đặt \(b+c-a=x,c+a-b=y,a+b-c=z\)(\(x,y,z>0\)vì \(a,b,c\)là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác)
Ta có: \(x+y=b+c-a+c+a-b=2c\Rightarrow c=\frac{x+y}{2}\)
Tương tự: \(a=\frac{y+z}{2};b=\frac{z+x}{2}\)
Do đó: \(VT=\frac{\frac{y+z}{2}}{x}+\frac{\frac{z+x}{2}}{y}+\frac{\frac{x+y}{2}}{z}=\frac{y+z}{2x}+\frac{z+x}{2y}+\frac{x+y}{2z}\)
\(\Leftrightarrow2VT=\frac{y+z}{x}+\frac{z+x}{y}+\frac{x+y}{z}=\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)+\left(\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\right)\ge2+2+2=6\)
(áp dụng BĐT \(\frac{m}{n}+\frac{n}{m}>=2\))
\(\Leftrightarrow VT\ge3=VP\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z\Leftrightarrow a=b=c\)
P/c: Đây là phương pháp đặt ẩn nhé !
21 tháng 4 2020
a) Vì x,y,z>0 nên a,b,c>0 (1)
Ta có: a+b-c=x+y+y+z-z-x=2y>0
=> a+b>c. Tương tự ta có b+c>a, c+a>b (2)
Từ (1) và (2) => Tồn tại tam giác mà các cạnh của nó có độ dài 3 cạnh là a,b,c
b) Vì a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác nên ta có a+b>c hay x+y+y+z>z+x => y>0
Tương tự: z,x>0
Vậy có các số dương x,y,z tm
TP
6
26 tháng 3 2018
đặt: x = b + c - a > 0
y = a + c - b > 0
z = a + b - c > 0
\(\Rightarrow a=\frac{\left(y+z\right)}{2}\)
\(b=\frac{\left(x+z\right)}{2}\)
\(c=\frac{\left(x+y\right)}{2}\)
\(A=\frac{a}{\left(b+c-a\right)}+\frac{b}{\left(a+c-b\right)}+\frac{c}{\left(a+b-c\right)}\)
\(A=\frac{\left(y+z\right)}{\left(2x\right)}+\frac{\left(x+z\right)}{\left(2y\right)}+\frac{\left(x+y\right)}{\left(2z\right)}\)
\(A=\frac{1}{2}.\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{x}{z}+\frac{z}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)\)
áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có:
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\)
\(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\ge2\)
\(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\ge2\)
Cộng các BĐT trên, ta được:
\(\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{x}{z}+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}\right)\ge6\)
\(\Rightarrow A\ge\frac{1}{2}.3=6\)(đpcm).
28 tháng 8 2019
2
a
\(x+y+z=0\)
\(\Rightarrow x+y=-z\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)^3=\left(-z\right)^3\)
\(\Rightarrow x^3+y^3+3x^2y+3xy^2=-z^3\)
\(\Rightarrow x^3+y^3+z^3=3xy\left(x+y\right)=3xyz\)
b
Đặt \(a-b=x;b-c=y;c-a=z\Rightarrow x+y+z=0\)
Ta có bài toán mới:Cho \(x+y+z=0\).Phân tích đa thức thành nhân tử:\(x^3+y^3+z^3\)
Áp dụng kết quả câu a ta được:
\(\left(a-b\right)^3+\left(b-c\right)^3+\left(c-a\right)^3=3\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\)
9 tháng 3 2021
Xét tam giác ABC có ba cạnh BC = a, CA = b, AB = c. Phân giác của các góc A, B, C lần lượt là AD = x, BE = y, CF = z.
Kẻ DM // AB \((M\in AC)\).
Ta có \(\widehat{ADM}=\widehat{BAD}=\widehat{MAD}\Rightarrow\) Tam giác AMD cân tại M.
Do đó AM = MD.
Áp dụng định lý Thales với DM // AB ta có:
\(\dfrac{MD}{AB}=\dfrac{CM}{AC}=1-\dfrac{AM}{AC}=1-\dfrac{DM}{AC}\Rightarrow\dfrac{MD}{AB}+\dfrac{MD}{AC}=1\Rightarrow\dfrac{1}{MD}=\dfrac{1}{AB}+\dfrac{1}{AC}=\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\).
Mặt khác theo bất đẳng thức tam giác ta có \(x=AD< AM+MD=2MD\Rightarrow MD>\dfrac{x}{2}\Rightarrow\dfrac{1}{MD}< \dfrac{2}{x}\Rightarrow\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}< \dfrac{2}{x}\).
Tương tự \(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}< \dfrac{2}{y};\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}< \dfrac{2}{z}\).
Cộng vế với vế của các bđt trên rồi rút gọn ta có đpcm.
12 tháng 2 2018
Từ B kẻ đường thẳng song song với đường phân giác AD, cắt CA ở E. Tam giác ABE cân ở A nên AE = AB = c
\(\Rightarrow\)CE = CA + AE = b + c
Do đó AD // BE nên ta có :
\(\frac{AD}{BE}=\frac{CA}{CE}\)hay \(\frac{x}{BE}=\frac{b}{b+c}\), do đó \(x=\frac{b}{b+c}.BE\)
Mà BE < AB + AC < 2c
\(\Rightarrow\) \(x< \frac{2bc}{b+c}\)hay \(\frac{1}{x}>\frac{1}{2}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)( 1 )
Tương tự ta có : \(\frac{1}{y}>\frac{1}{2}\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)\)( 2 )
ta cũng có : \(\frac{1}{z}>\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)( 3 )
Cộng từng vế của ( 1 ) ; ( 2 ) ; ( 3 ) ta có :
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}>\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
Vậy \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}>\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\left(ĐPCM\right)\)
Hình mình vẽ hơi xấu tí thông cảm
\(\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}=\frac{a^2}{ab+ac-a^2}+...\)áp dụng svac sơ ta có
>= \(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ac\right)-a^2-b^2-c^2}\)vì a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ac và 3(ab+bc+ac)<=(a+b+c)^2 => dpcm
bạn trả lời j z