Cho a,b,c > 0 và a+ b + c \(\le\dfrac{3}{2}\). Tìm Min của \(E=a+b+c+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)
@Phùng Khánh Linh @Akai Haruma ...... giúp với
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AH
Akai Haruma
Giáo viên
5 tháng 10 2018
Bài 1:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}\geq \frac{4}{2ab+a^2+b^2}=\frac{4}{a+b)^2}=4(1)\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(1=a+b\geq 2\sqrt{ab}\Rightarrow ab\leq \frac{1}{4}\Rightarrow \frac{3}{2ab}\geq 6(2)\)
\(a^4+b^4\geq \frac{(a^2+b^2)^2}{2}\geq \frac{(\frac{(a+b)^2}{2})^2}{2}=\frac{1}{8}\) \(\Rightarrow \frac{a^4+b^4}{2}\geq \frac{1}{16}(3)\)
Từ \((1);(2);(3)\Rightarrow P\geq 4+6+\frac{1}{16}=\frac{161}{16}\)
Vậy \(P_{\min}=\frac{161}{16}\). Dấu bằng xảy ra tại $a=b=0,5$
AH
Akai Haruma
Giáo viên
6 tháng 10 2018
Bài 2:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(2\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\right)\geq 2. \frac{4}{x^2+y^2+2xy}=\frac{8}{(x+y)^2}=\frac{9}{2}\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\frac{80}{81xy}+5xy\geq 2\sqrt{\frac{80}{81}.5}=\frac{40}{9}\)
\(\frac{4}{3}=a+b\geq 2\sqrt{ab}\Rightarrow ab\leq \frac{4}{9}\Rightarrow \frac{1}{81ab}\geq \frac{1}{36}\)
Cộng những BĐT vừa cm được ở trên với nhau:
\(\Rightarrow A\geq \frac{9}{2}+\frac{40}{9}+\frac{1}{36}=\frac{323}{36}\)
Vậy \(A_{\min}=\frac{323}{36}\Leftrightarrow a=b=\frac{2}{3}\)
26 tháng 7 2018
Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương , ta có :
\(a+\dfrac{1}{4a}\text{ ≥}2\sqrt{a.\dfrac{1}{4a}}=2.\dfrac{1}{2}=1\)
\(b+\dfrac{1}{4b}\text{ ≥}2\sqrt{b.\dfrac{1}{4b}}=2.\dfrac{1}{2}=1\)
\(c+\dfrac{1}{4c}\text{ ≥}2\sqrt{c.\dfrac{1}{4c}}=2.\dfrac{1}{2}=1\)
⇒ \(a+b+c+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\text{ ≥}3\)
⇔ \(a+b+c+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\text{ ≥}3+\dfrac{3}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\text{ ≥ }3+\dfrac{3}{4}.\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}=3+\dfrac{3}{4}.\dfrac{9}{a+b+c}\text{ ≥}3+\dfrac{3}{4}.\dfrac{9}{\dfrac{3}{2}}=\dfrac{15}{2}\) ⇒ \(A_{MIN}=\dfrac{15}{2}."="\text{⇔}a=b=c=\dfrac{1}{2}\)
5 tháng 2 2022
\(=\left(1^2+4^2\right)\left(a^2+\dfrac{1}{b^2}\right)\ge\left(1a+4.\dfrac{1}{b}\right)^2\\ \Rightarrow\sqrt{a^2+\dfrac{1}{vb^2}}\ge\dfrac{1}{\sqrt{17}}\left(a+\dfrac{4}{b}\right)\)
Tương tự
\(\sqrt{b^2+\dfrac{1}{c^2}}\ge\dfrac{1}{\sqrt{17}}\left(b+\dfrac{4}{c}\right)\\ \sqrt{c^2+\dfrac{1}{a^2}}\ge\dfrac{1}{\sqrt{17}}\left(c+\dfrac{4}{a}\right)\\ Do.đó:\\ Q\ge\dfrac{1}{\sqrt{17}}\left(a+b+c+\dfrac{4}{a}+\dfrac{4}{b}+\dfrac{4}{c}\right)\ge\dfrac{1}{\sqrt{17}}\\ \left(a+b+c+\dfrac{36}{a+b+c}\right)\)
\(=\dfrac{1}{\sqrt{17}}\\ \left[a+b+c+\dfrac{9}{4\left(a+b+c\right)}+\dfrac{135}{4\left(a+b+c\right)}\right]\\ \ge\dfrac{3\sqrt{17}}{2}\)
TD
5 tháng 2 2022
Cái thứ nhất là tại sao có cái đầu tiên =)) cái thứ 2 dấu bằng xảy ra khi nào :V
E = a + \(\dfrac{1}{4a}+b+\dfrac{1}{4b}+c+\dfrac{1}{4c}+\dfrac{3}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)
áp dụng bdt cosi cho cac so duong co:
\(a+\dfrac{1}{4a}\ge2\sqrt{a.\dfrac{1}{4a}}\Leftrightarrow a+\dfrac{1}{4a}\ge1\)
\(b+\dfrac{1}{4b}\ge1,c+\dfrac{1}{4c}\ge1\)
dấu = xảy ra khi a=b=c = 1/2
CM: \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{9}{a+b+c}\)\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{9}{\dfrac{3}{2}}\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge6\)\(\Rightarrow\dfrac{3}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge\dfrac{9}{2}\)\(\Rightarrow E\ge3+\dfrac{9}{2}\Rightarrow E\ge\dfrac{15}{2}\)
Vậy min E= 15/2 khi a=b=c=1/2