Question

[Thành Trương]

1/ Chứng minh bất đẳng thức
a) 4x^2 + 4x + 5 > 0
b) a^2 + ab + b^2 ≥ 0

2/ Tam giác ABC cân tại A, các phân giác BD và CE (D thuộc AC, E thuộc AB). Chứng minh BEDC là hình thang cân

3/ Tìm số nguyên x, y thỏa mãn 1 + x + x^2 + x^3 = y^3

4/ Giải phương trình: (x^2 - 25/4)^2 = 10x + 1

Answer 1

[Văn Tú]

1/ a) \(4x^2+4x+5>0\)

<=> \(\left(4x^2+4x+1\right)+4>0\)
<=> \(\left(2x+1\right)^2+4>0\) (bất đẳng thức đúng với mọi x)

b) \(a^2+ab+b^2\)≥ 0

<=> \(2a^2+2ab+2b^2\) ≥ 0

<=> \(\left(a^2+2ab+b^2\right)+a^2+b^2\) ≥ 0

<=> \(\left(a+b\right)^2+a^2+b^{2^{ }}\) ≥ 0 (bất đẳng thức đúng với mọi a,b)

Dấu "=" xảy ra khi a + b = a = b = 0 hay a = b = 0.

2/

[Mình vẽ hình tượng trưng thôi chứ không đúng đâu nhé]

Xét tam giác ABD và tam giác ACE có

Góc A chung

AB = AC (Tam giác ABC cân tại A)

Góc ABD = góc ACE (=góc B/2 = góc C/2)

Suy ra: Tam giác ABD = tam giác ACE (g.c.g)

=> AE = AD (2 cạnh tương ứng)

=> Tam giác AED cân tại A

△ABC cân tại A

=> góc B = (180^o - góc A)/2 (1)

△AED cân tại A (cmt)

=> góc AED = (180^o - góc A)/2 (2)

Từ (1) và (2) => góc B = góc AED

=> ED //BC

=> Tứ giác BEDC là hình thang

mà góc B = góc C (Tam giác ABC cân tại A)

=> BEDC là hình thang cân.

3/ \(1+x+x^2+x^3=y^3\)

Ta nhận thấy: 1 + x + x² = \(\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^{2^{ }}+\dfrac{3}{4}>0\) với mọi x

nên x³ < 1 + x + x² + x³ hay x³ < y³ (1)

Xét hiệu (x+2)³ - y³ = (x+2)³ - (1+x+x²+x³) = 5x² + 11x + 7

= \(5\left(x+\dfrac{11}{10}\right)^{2^{ }}+\dfrac{19}{20}>0\) nên (x+2)³ > y³ (2)

Từ (1) và (2) => x³ < y³ < (x+2)³

=> y³ = (x+1)³ (vì x,y là số nguyên)

hay 1 + x + x² + x³ = (x+1)³

<=> x² + x = 0 <=> x(x+1) = 0 <=> x = 0 hoặc x = -1

* Với x = -1 thì y = 1 + (-1) + (-1)² + (-1)³ = 0

* Với x = 0 thì y = 1 + 0 + 0² + 0³ = 1

Vậy Các số nguyên (x;y) cần tìm là (-1;0); (0;1).

4/ \(\left(x^2-\dfrac{25}{4}\right)^2=10x+1\)

<=> \(x^4-\dfrac{25}{2}x^2+\dfrac{625}{16}=10x+1\)

<=> \(x^4-\dfrac{25}{2}x^2-10x+\dfrac{609}{16}=0\)

<=> \(\left(x^4-\dfrac{7}{2}x^3\right)+\left(\dfrac{7}{2}x^3-\dfrac{49}{4}x^2\right)-\left(\dfrac{1}{4}x^2-\dfrac{7}{8}x\right)-\left(\dfrac{87}{8}x+\dfrac{609}{16}\right)=0\)

<=> \(\left(x-\dfrac{7}{2}\right)\left(x^3+\dfrac{7}{2}x^2-\dfrac{1}{4}x-\dfrac{87}{8}\right)=0\)

<=> \(\left(x-\dfrac{7}{2}\right)\left[\left(x^3-\dfrac{3}{2}x^2\right)+\left(5x^2-\dfrac{15}{2}x\right)+\left(\dfrac{29}{4}x-\dfrac{87}{8}\right)\right]=0\)

<=> \(\left(x-\dfrac{7}{2}\right)\left(x-\dfrac{3}{2}\right)\left(x^2+5x+\dfrac{29}{4}\right)=0\)

<=> \(x-\dfrac{7}{2}=0\) hoặc \(x-\dfrac{3}{2}=0\) (vì \(x^2+5x+\dfrac{29}{4}\)≠ 0)

<=> x = 3.5 hoặc x = 1.5.