Question

[Thủy Tiên]

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;2;1), B(2;-1;3). Tìm điểm M trên mp Oxyz sao cho MA² - 2MB² lớn nhất​​​​​​​

A.\(M\left(\dfrac{3}{2};\dfrac{1}{2};0\right)\) B. \(M\left(\dfrac{1}{2};-\dfrac{3}{2};0\right)\) C. M(0;0;5) D. M(3;-4;0)

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

Chọn điểm $I$ sao cho \(\overrightarrow{IA}-2\overrightarrow{IB}=0\)

\(\Leftrightarrow (1-x_I, 2-y_I, 1-z_I)-2(2-x_I, -1-y_I, 3-z_I)=0\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 1-x_I-2(2-x_I)=0\\ 2-y_I-2(-1-y_I)=0\\ 1-z_I-2(3-z_I)=0\end{matrix}\right.\Rightarrow I(3,-4, 5)\)

Có:

\(MA^2-2MB^2=(\overrightarrow {MI}+\overrightarrow{IA})^2-2(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB})^2\)

\(=-MI^2+IA^2-2IB^2+2\overrightarrow{MI}(\overrightarrow{IA}-2\overrightarrow{IB})\)

\(=-MI^2+IA^2-2IB^2\)

Do đó để \(MA^2-2MB^2\) max thì \(MI^2\) min. Do đó $M$ là hình chiếu vuông góc của $I$ xuống mặt phẳng $Oxy$

Gọi d là đường thẳng đi qua $I$ và vuông góc với (Oxy)

Khi đó: \(d:\left\{\begin{matrix} x=3\\ y=-4\\ z=5+t\end{matrix}\right.\)

$M$ thuộc d và $(Oxy)$ thì ta có thể suy ra ngay đáp án D