Cho 3 số thực dương x,z,y tm x+y+z=\(\sqrt{2}\). Tìm MIN T=\(\sqrt{(x+y)(y+z)(x+z)}(\frac{\sqrt{y+z}}{x}+\frac{\sqrt{y+x}}{z}+\frac{\sqrt{x+z}}{y})\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AH
Akai Haruma
Giáo viên
25 tháng 4 2018
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\((x+y)(x+z)\geq (x+\sqrt{yz})^2\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x+y)(y+z)(x+z)}.\frac{\sqrt{y+z}}{x}\geq \frac{(y+z)(x+\sqrt{yz})}{x}=y+z+\frac{\sqrt{yz}(y+z)}{x}\)
Hoàn toàn tương tự :
\(\sqrt{(x+y)(y+z)(x+z)}.\frac{\sqrt{x+z}}{y}\geq x+z+\frac{\sqrt{xz}(x+z)}{y}\)
\(\sqrt{(x+y)(y+z)(x+z)}.\frac{\sqrt{x+y}}{z}\geq x+y+\frac{\sqrt{xy}(x+y)}{z}\)
Cộng theo vế:
\(T\geq 2(x+y+z)+\underbrace{\frac{(x+y)\sqrt{xy}}{z}+\frac{(y+z)\sqrt{yz}}{x}+\frac{(z+x)\sqrt{zx}}{y}}_{M}\)
Ta có:
\(M=\frac{(\sqrt{2}-z)\sqrt{xy}}{z}+\frac{(\sqrt{2}-x)\sqrt{yz}}{x}+\frac{(\sqrt{2}-y)\sqrt{xz}}{y}\)
\(=\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{xy}}{z}+\frac{\sqrt{yz}}{x}+\frac{\sqrt{xz}}{y}\right)-(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz})\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\frac{\sqrt{xy}}{z}+\frac{\sqrt{yz}}{x}+\frac{\sqrt{xz}}{y}\geq 3\sqrt[3]{\frac{xyz}{xyz}}=3\)
\(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\leq \frac{x+y}{2}+\frac{y+z}{2}+\frac{z+x}{2}=x+y+z=\sqrt{2}\)
Do đó: \(M\geq 3\sqrt{2}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow T\geq 2(x+y+z)+M\geq 2\sqrt{2}+2\sqrt{2}=4\sqrt{2}\)
Vậy \(T_{\min}=4\sqrt{2}\)
TM
30 tháng 5 2017
\(M^2=\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}+\frac{2xy}{\sqrt{yz}}+\frac{2yz}{\sqrt{zx}}+\frac{2xz}{\sqrt{yz}}=\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}+\frac{2x\sqrt{y}}{\sqrt{z}}+\frac{2y\sqrt{z}}{\sqrt{x}}+\frac{2z\sqrt{x}}{\sqrt{y}}\)
Áp dụng bđt Cô-si: \(\frac{x^2}{y}+\frac{x\sqrt{y}}{\sqrt{z}}+\frac{x\sqrt{y}}{\sqrt{z}}+z\ge4\sqrt[4]{\frac{x^2}{y}.\frac{x\sqrt{y}}{\sqrt{z}}.\frac{x\sqrt{y}}{\sqrt{z}}.z}=4x\)
tương tự \(\frac{y^2}{z}+\frac{y\sqrt{z}}{\sqrt{x}}+\frac{y\sqrt{z}}{\sqrt{x}}+x\ge4y\);\(\frac{z^2}{x}+\frac{z\sqrt{x}}{\sqrt{y}}+\frac{z\sqrt{x}}{\sqrt{y}}+y\ge4z\)
=>\(M^2+x+y+z\ge4\left(x+y+z\right)\Rightarrow M^2\ge3\left(x+y+z\right)\ge3.12=36\Rightarrow M\ge6\)
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=4
Vậy minM=6 khi x=y=z=4
17 tháng 11 2017
Để lên lớp 9 rồi em giải cho
Mà em thấy CTV đâu rồi nhỉ
Các bn CTV phải giúp đỡ tình trạng thế này nhé
Chúc bn hok giỏi , sớm có người giải cho bn bài này
12 tháng 12 2018
Thấy cái đề mà thấy khiếp ...
Ta có : \(x^2-xy+y^2=\frac{3}{4}\left(x^2-2xy+y^2\right)+\frac{1}{4}\left(x^2+2xy+y^2\right)\)
\(=\frac{3}{4}\left(x-y\right)^2+\frac{1}{4}\left(x+y\right)^2\ge\frac{1}{4}\left(x+y\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{x^2-xy+y^2}\ge\frac{x+y}{2}\)
Tương tự \(\sqrt{y^2-yz+z^2}\ge\frac{y+z}{2}\)
\(\sqrt{z^2-zx+x^2}\ge\frac{x+z}{2}\)
Do đó : \(2S\ge\frac{x+y}{x+y+2z}+\frac{y+z}{y+z+2x}+\frac{x+z}{x+z+2y}\)
\(\Rightarrow2S+3\ge\left(1+\frac{x+y}{x+y+2z}\right)+\left(1+\frac{y+z}{y+z+2x}\right)+\left(1+\frac{x+z}{x+z+2y}\right)\)
\(=2\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x+y+2z}+\frac{1}{y+z+2x}+\frac{1}{x+z+2y}\right)\)
\(\ge2\left(x+y+z\right).\frac{9}{4\left(x+y+z\right)}\)\(=\frac{9}{2}\)
(Áp dụng bđt Cô-si dạng engel cho 3 số)
\(\Rightarrow2S+3\ge\frac{9}{2}\)
\(\Rightarrow S\ge\frac{3}{4}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z\)
Vậy ..............
N
24 tháng 9 2017
Áp dụng BĐT bunyakovsky:
\(\sum\dfrac{x^2}{y+z}\ge\sum\dfrac{x^2}{\sqrt{2\left(y^2+z^2\right)}}\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x^2+y^2}=a\\\sqrt{y^2+z^2}=b\\\sqrt{z^2+x^2}=c\end{matrix}\right.\) thì có a+b+c=2016 và cần tìm Min của \(\sum\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2\sqrt{2}b}\) (\(x^2=\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2}\))
Ta có: \(\sum\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2\sqrt{2}b}=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}.\left(\sum_{sym}\dfrac{a^2}{b}-\sum b\right)\)
Áp dụng BĐT cauchy-schwarz:
\(\sum_{sym}\dfrac{a^2}{b}=\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{c^2}{b}+\dfrac{b^2}{a}+\dfrac{c^2}{a}+\dfrac{a^2}{c}+\dfrac{b^2}{c}\ge\dfrac{4\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=2\left(a+b+c\right)\)
DO đó \(VT\ge\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\left(2\sum a-\sum a\right)=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\left(a+b+c\right)=\dfrac{2016}{2\sqrt{2}}=\dfrac{1008}{\sqrt{2}}\)
Dấu = xảy ra khi a=b=c hay \(x=y=z=\dfrac{672}{\sqrt{2}}\)
KK
8 tháng 4 2021
Áp dụng bđt bunhiacopxki, ta có:
\(\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)\left(1+16\right)\ge\left(x+\frac{4}{x}\right)^2\) => \(x^2+\frac{1}{x^2}\ge\frac{\left(x+\frac{4}{x}\right)^2}{17}\)
=> \(\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}\ge\frac{x+\frac{4}{x}}{\sqrt{17}}=\frac{x}{\sqrt{17}}+\frac{4}{x\sqrt{17}}\)
CMTT: \(\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}\ge\frac{y}{\sqrt{17}}+\frac{4}{\sqrt{17}y}\)
\(\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\ge\frac{z}{\sqrt{17}}+\frac{4}{\sqrt{17}z}\)
=> A \(\ge\frac{x+y+z}{\sqrt{17}}+\frac{4}{\sqrt{17}}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge\frac{x+y+z}{\sqrt{17}}+\frac{36}{\sqrt{17}\left(x+y+z\right)}\)(bđt: 1/a + 1/b + 1/c > = 9/(a+b+c)
=> A \(\ge\frac{16\left(x+y+z\right)}{\sqrt{17}}+\frac{36}{\sqrt{17}\left(x+y+z\right)}-\frac{15\left(x+y+z\right)}{\sqrt{17}}\)
A \(\ge2\sqrt{\frac{16\left(x+y+z\right)}{\sqrt{17}}\cdot\frac{36}{\sqrt{17}\left(x+y+z\right)}}-\frac{15\cdot\frac{3}{2}}{\sqrt{17}}\)(Bđt cosi + bđt: x + y + z < = 3/2)
A \(\ge\frac{48}{\sqrt{17}}-\frac{45}{2\sqrt{17}}=\frac{3\sqrt{17}}{2}\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = y= z = 1/2
Vậy MinA = \(\frac{3\sqrt{17}}{2}\) <=> x = y = z = 1/2
