Cho ΔABC vuông tại A có AB<AC. Vẽ đường cao AH củaΔABC .Gọi D là điểm đối xứng của B qua H. Hạ DE vuông góc với AC tại E
a, Chứng minh AH2=HD.HC
b, Đường trung tuyến CK cuảΔABCΔABC cắt AH,AD và DE lần lượt tai M,F và I. CM: AD.AK - AF.DI=AF.AK
c,Gọi L là giao điểm của BM và AC.CM SALB=SAHB
Tự vẽ hình.
a) Xét tam giác ABH vuông tại H => góc B + góc BAH = 90 độ (1)
Xét tam giác ABC vuông tại A => góc B + góc C = 90 độ (2)
Từ (1),(2) => góc BAH = góc C
Xét tam giác ABH và tam giác CAH có:
góc BAH = góc C (cm), góc AHB = góc AHC = 90 độ
=> tam giác ABH đồng dạng với tam giác CAH (g.g)
=> \(\Rightarrow\dfrac{AH}{CH}=\dfrac{BH}{AH}\Rightarrow AH^2=CH.BH\)
Mà BH = HD => \(\Rightarrow BH^2=CH.DH\)
b) Xét tam giác KAF và tam giác IDF có KA // DI ( Vì AB, DE// AC => AB//DE )
=> tam giác KAF đồng dạng với tam giác IDF ( Định lý.... )
=> \(\dfrac{AF}{FD}=\dfrac{AK}{DI}\)
=> AF.DI=AK.FD
Ta có : AD.AK - AF.DI = AD.AK - AK.FD = AK.(AD-FD) = AK.AF
=> AD.AK - AF.DI = AK.AF